正弦交流电路中的RLC串联电路

在实际的电路中，除白炽灯照明电路为纯电阻电路外，其他电路几乎都包含了电感或电容的复杂混合电路。

1.RLC串联交流电路中电流与电压的关系

电阻、电感与电容元件串联的交流电路如图2－33（a）所示，注意在电路中的各元件通过同一电流i。

图2－33　RLC串联电路

（a）电路图；（b）相量模型图；（c）电压相量三角形；（d）阻抗三角形

根据基尔霍夫电压定律可以得出

设电流i＝Imsinωt，代入上式得

如图2－33（b）所示，上式各正弦量用有效值相量表示后，则有

该式称为相量形式的基尔霍夫定理。

上述两式中，X称为电抗，表示电路中电感和电容对交流电流的阻碍作用的大小，单位为欧姆（Ω）；Z称为复阻抗，它描述了RLC串联交流电路对电流的阻碍及使电流相对电压发生的相移。习惯上称其为正弦交流电路相量形式的欧姆定理。

2.电流电压关系与电压三角形、阻抗与阻抗三角形

因为电路中各元件上电流相同，故以电流为参考相量，作出电路的电流与电压相量图，如图2－33（c）所示。在相量图上，各元件电压uR、uL、uC的相量相加即可得出电源电压u的相量，由于电压相量组成了一个直角三角形，故称这个三角形为电压三角形。

利用电压三角形，便可求出电源电压的有效值，即

这种电路中电压与电流的有效值（或幅值）之比为，它就是复阻抗Z的模，它的单位也是欧姆，具有对电流起阻碍作用的性质，称之为电路的阻抗，用｜Z｜表示，即

有了阻抗｜Z｜，则电压与电流的关系可写为

即RLC串联电路中的电流与电压的有效值符合欧姆定理。

另外通过上述的分析，可以发现｜Z｜、R、（XL－XC）三者之间的关系也可用一个阻抗三角形来表示，阻抗三角形是一个直角三角形，如图2－33（d）所示。阻抗三角形和电压三角形是相似三角形，故电源电压u与电流i之间的相位差φ既可以从电压三角形得出，也可以从阻抗三角形得出，即

上式中的电压与电流的相位差φ也是复阻抗Z的辐角，又称为阻抗的阻抗角。故复阻抗Z可表示为

而且，从前面的分析可知，复阻抗Z的模表示了电路对交流电流阻碍作用的大小，辐角φ表示了电路使交流电流相对于电压的相移，所以，复阻抗Z描述了交流电路对电流的阻碍作用，阻抗三角形描述了电流相对电压发生的相移。

3.RLC电路的性质

阻抗｜Z｜、电阻R、感抗XL及容抗XC不仅表示电压u及其分量uR、uL、uC与电流i之间的大小关系，而且表示了它们之间的相位关系。随着电路参数的不同，电压u与电流i之间的相位差φ也就不同，因此，φ角的大小是由电路（负载）的参数决定的。一般根据φ角的大小来确定电路的性质。

（1）若XL＞XC，则在相位上电流i比电压u滞后，φ＞0，这种电路是电感性的，简称为感性电路。

（2）若XL＜XC，则在相位上电流i比电压i超前，φ＜0，这种电路是电容性的，简称为容性电路。

（3）当XL＝XC，即φ＝0时，则电流i与电压u同相，这种电路是电阻性的，称之为谐振电路。

【例2-27】　在如图2－34所示电路中，已知电压表V1、V2、V3的读数都是50 A，求电路中电压表V的读数。

图2－34　例2－27电路图

解：求电压表V的读数就是求电路中总电压u的有效值。

以端电压作为参考量，设端电压为。

（1）选定电压、电流的参考方向如图2－34（a）所示，则

由相量形式的KVL得

所以，电压表V的读数为。(www.xing528.com)

（2）选定电压、电流的参考方向如图2－34（b）所示，则

由相量形式的KVL得：

所以，电压表V的读数为50 V。

【例2-28】　在如图2－35所示正弦电路中，已知端电压，R＝2 Ω，L＝2 H，C＝0.25 F。试用相量法计算电路中等效复阻抗Z，电流i和电压uR、uL、uC。

图2－35　例2－28电路图

解：复阻抗

端电流

由R、L、C各元件电压与电流的相量关系式得：

根据以上电压、电流的相量得到相应的瞬间值表达式：

图2－36　例2－29电路图

【例2-29】　日光灯导通后，镇流器与灯管串联，其电路模型如图2－36所示。已知工频电源电压U＝220 V，f＝50 Hz，镇流器电阻R＝20 Ω，电感L＝1.65 H。测得镇流器两端电压U2＝190 V，试求灯管电压U1及灯管电阻R1。

解：由已知镇流器端电压U2＝190 V，它的阻抗为

各电压有效值间的关系为

【例2-30】　由电阻R＝30 Ω，电感L＝382 mH，电容C＝40 μF组成的串联电路，接于电压的电源上，试求：

（1）电路等效复阻抗Z；

（2）电路电流i；

（3）各元件电压；

（4）电路的功率P、Q、S。

解：按习惯选定各电压、电流的参考方向一致。

（1）电路等效复阻抗

（2）电路电流

（3）各元件电压

（4）电路功率

平均功率（有功功率）：

无功功率：

视在功率：

【例2-31】　用电感降压来调速的电风扇的等效电路如图2－37（a）所示，已知R＝190 Ω，XL1＝260 Ω，电源电压U＝220 V，f＝50 Hz，要使U2＝180 V，问串联的电感LX应为多少？

图2－37　例2－31电路图

解：以为参考相量，作相量图如图2－37（b）所示。