1.曲面体表面取点
曲面体表面取点和平面上取点的基本方法相同，即当曲面的一个投影有积聚性时，可利用积聚性投影直接求得点的投影；当曲面体的各个投影都没有积聚性时，则需利用辅助线法来求。应指出的是：曲面无论有没有积聚性，轮廓素线上的点均可以直接求出。
【例3-5】 如图3-17（a）所示，已知圆柱面上点M 的正面投影，求其余两面投影。
图3-17 圆柱表面上取点
【例3-6】 如图3-18 所示，已知圆锥面上点M 的正面投影，求其余两面投影。
图3-18 圆锥表面上取点
（a）素线法取点；（b）纬圆法取点
如图3-18 所示，已知圆锥表面上M 的正面投影m′，求作点M 的其余两个投影。因为m′ 可见，所以M 必在前半个圆锥面的左边，故可判定点M 的其余两面投影均为可见。作图方法有两种。
（1）辅助线法。如图3-18（a）所示，过锥顶S 和M 作一直线SA，与底面交于点A。点M 的各个投影必在此SA 的相应投影上，过m′作s′a′，然后求出其水平投影sa。由于点M属于直线SA，根据点在直线上的从属性质可知m 必在sa 上，据此求出水平投影m，再根据m、m′ 可求出m″。
（2）辅助圆法。如图3-18（b）所示，过圆锥面上点M 作一垂直于圆锥轴线的辅助圆，点M 的各个投影必在此辅助圆的相应投影上，过m′作水平线a′b′，此为辅助圆的正面投影积聚线。辅助圆的水平投影为一直径等于a′b′的圆，圆心为s，由m′向下引垂线与此圆相交，且根据点M 的可见性，即可求出m。然后再由m′和m 可求出m″。
【例3-7】 如图3-19 所示，已知圆球面上点M 的正面投影，求其余两面投影。
圆球面的投影没有积聚性，求作其表面上点的投影需采用辅助圆法，即过该点在球面上作一个平行于任一投影面的辅助圆。如图3-19（a）所示，已知球面上点M 的水平投影，求作其余两个投影。过点M 作一平行于正面的辅助圆，它的水平投影为过m 的直线ab，正面投影为直径等于ab 长度的圆。自m 向上引垂线，在正面投影上与辅助圆相交于两点。又由于m 可见，故点M 必在上半个圆周上，据此可确定位置偏上的点即为m′，再由m、m′可求出m″，如图3-19（b）所示。
图3-19 圆球面上取点
（a）已知；（b）作图
2.曲面体截交线的形状
平面与曲面立体相交产生的截交线一般是封闭的平面曲线，也可能是由曲线与直线围成的平面图形，其形状取决于截平面与曲面立体的相对位置。求曲面立体的截交线，就是求截平面与曲面立体表面的共有点的投影，然后把各点的同面投影依次光滑连接起来。
当截平面或曲面立体的表面垂直于某一投影面时，则截交线在该投影面上的投影具有积聚性，可直接利用面上取点的方法作图。
1）圆柱的截交线
平面截切圆柱时，根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有3 种不同的形状，如表3-1 所示。
2）圆锥的截交线
平面截切圆锥时，根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，其截交线有5 种不同的形状。如表3-2 所示。
表3-1 圆柱的截交线
表3-2 圆锥的截交线
续表
3）球的截交线
平面在任何位置与球截切的截交线都是圆。当截平面平行于某一投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆的实形，在其他两面上的投影都积聚为直线，如图3-20 所示。
图3-20 圆球的截交线
3.曲面体截交线的画法
【例3-8】 如图3-21（a）所示，求圆柱被正垂面截切后的截交线。
分析：截平面与圆柱的轴线倾斜，故截交线为椭圆。此椭圆的正面投影积聚为一直线。由于圆柱面的水平投影积聚为圆，而椭圆位于圆柱面上，故椭圆的水平投影与圆柱面水平投影重合。椭圆的侧面投影是它的类似形，仍为椭圆。可根据投影规律由正面投影和水平投影求出侧面投影。(www.xing528.com)
作图方法与步骤如图3-21（b）、（c）、（d）所示。
（1）先找出截交线上的特殊点。特殊点一般是指截交线上最高、最低、最左、最右、最前、最后等点。它们通常是截平面与回转体上特殊位置素线的交点。作出这些点的投影，就能大致确定截交线投影的范围。如图3-21（a）所示，Ⅰ、Ⅴ两点是位于圆柱正面左、右两条转向轮廓素线上的点，且分别是截交线上的最低点和最高点。Ⅲ、Ⅶ两点位于圆柱最前、最后两条素线上，分别是截交线上的最前点和最后点。在图上标出它们的水平投影1、5、3、7 和正面投影1′、5′、3′、（7′），然后根据投影规律求出侧面投影1″、5″、3″、7″，如图3-21（b）所示。
（2）再作出适当数量的截交线上的一般点。在截交线上的特殊点之间取若干点，如图3-21（a）中的Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅷ等点称为一般点。作图时，可先在水平投影上取2、4、6、8 等点，再向上作投影连线，得2′、4′、（6′）、（8′）点，然后由投影关系求出2″、4″、6″、8″点，如图3-21（c）所示。一般位置点越多，作出的截交线越准确。
（3）依次光滑连接1″、2″、3″、4″、5″、6″、7″、8″ 即得截交线的侧面投影，如图3-21（d）所示。
图3-21 圆柱的截交线
【例3-9】 如图3-22（a）所示，完成被截切圆柱的正面投影和水平投影。
分析：该圆柱左端的开槽是由两个平行于圆柱轴线的对称正平面和一个垂直于轴线的侧平面切割而成；圆柱右端的切口是由两个平行于圆柱轴线的水平面和两个侧平面切割而成。
作图方法与步骤如图3-22（b）、（c）、（d）所示。
（1）画左端开槽部分。3 个截平面的水平投影和侧面投影均已知，只需补出正面投影。2 个正平面与圆柱面的交线是4 条平行的侧垂线，它们的侧面投影分别积聚成点a″、b″、c″、d″，它们的水平投影重合成两条直线。侧平面与圆柱面的交线是两段平行于侧面的圆弧，它们的侧面投影反映实形，水平投影积聚为一直线。根据点的投影规律，可求出上述截交线的正面投影，如图3-22（b）、（c）所示。
（2）画右端切口部分。各截平面的正面投影和侧面投影已知，只需补出水平投影。具体作法与前面类似，如图3-22（c）所示。
（3）整理轮廓，完成全图，如图3-22（d）所示。其间应注意两点：①圆柱的最上、最下两条素线均被开槽切去一段，故开槽部分的外形轮廓线向内“收缩”；②左端开槽底面的正面投影的中间段（a′→b′）是不可见的，应画成细虚线。
图3-22 补全带切口圆柱的投影
【例3-10】 如图3-23（a）所示，求作被正平面截切的圆锥的截交线。
分析：因截平面为正平面，与轴线平行，故截交线为双曲线。截交线的水平投影和侧面投影都积聚为直线，只需求出正面投影。
作图方法与步骤如图3-23（b）所示。
（1）先求特殊点。点Ⅲ为最高点，是截平面与圆锥最前素线的交点，可由其侧面投影3″直接作出正面投影3′。点Ⅰ、Ⅱ为最低点且位于圆锥底圆上，可由水平投影1、2 直接作出正面投影1′、2′。
（2）再求一般点。用辅助圆法，在点Ⅲ与点Ⅰ、Ⅱ间作一辅助圆，该圆与截平面的两个交点Ⅳ、Ⅴ必是截交线上的点。易作出这两点的水平投影4、5 与侧面投影4″、（5″），据此可求出它们的正面投影4′、5′。
（3）依次光滑连接1′、4′、3′、5′、2′ 即得截交线的正面投影，如图3-23（b）所示。
图3-23 正平面截切圆锥的截交线
【例3-11】 如图3-24（a）所示，完成开槽半圆球的截交线。
分析：球表面的凹槽由两个侧平面和一个水平面切割而成，两个侧平面和球的交线为两段平行于侧面的圆弧，水平面与球的交线为前后两段水平圆弧，截平面之间得交线为正垂线。
作图方法与步骤如图3-24（b）所示。
（1）先画出完整半圆球的投影，再根据槽宽和槽深尺寸作出槽的正面投影，如图3-24（a）所示。
（2）用辅助圆法作出槽的水平投影，如图3-24（b）所示。
（3）根据正面投影和水平投影作出侧面投影，如图3-24（c）所示。其间应注意两点：①由于平行于侧面的圆球素线被切去一部分，所以开槽部分的轮廓线在侧面的投影会向内“收缩”；②槽底的侧面投影此时不可见，应画成细虚线。
【例3-12】 如图3-25（a）所示，求作顶尖头的截交线。
分析：顶尖头部是由同轴的圆锥与圆柱组合而成。它的上部被两个截平面P 和Q 切去一部分，在它的表面上共出现3 组截交线和一条P 与Q 的交线。截平面P 平行于轴线，所以它与圆锥面的交线为双曲线，与圆柱面的交线为2 条平行直线。截平面Q 与圆柱斜交，它截切圆柱的截交线是一段椭圆弧。3 组截交线的侧面投影分别积聚在截平面P 和圆柱面的投影上，正面投影分别积聚在P、Q 两面的投影（直线）上，因此只需求作3 组截交线的水平投影。
作图方法与步骤如图3-25（b）、（c）、（d）所示。
（1）作特殊点。根据正面投影和侧面投影可作出特殊点的水平投影1、3、5、6、8、10，如图3-25（b）所示。
（2）求一般点。利用辅助圆法求出双曲线上一般点的水平投影2、4，以及椭圆弧上的一般点7、9，如图3-25（c）所示。
（3）将各点的水平投影依次连接起来，即为所求截交线的水平投影，如图3-25（d）所示。
图3-24 开槽半圆球的截交线
图3-25 顶尖头的截交线
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