点的投影及其重影点

1.点的投影及其标记

点没有大小，只有在空间中的位置，在图样中我们用涂黑的小圆圈或是两线相交来表示点。

图2-6　点的单面投影

点A 的投影是指过空间点A 的投射线与投影面P 的交点a，点a 是点A 的单面投影，如图2-6 所示。但是只有一个投影并不能确定点的空间位置。因此，工程上采用的是多面正投影。

关于点及其投影的标记，人们规定：在三面投影体系中，空间点用大写字母来表示（如A、B、C、D 等），投影用相应的小写字母来表示，水平投影用相应的小写字母（如a、b、c、d 等），正面投影用相应的小写字母加一撇（如a′、b′、c′、d′等），侧面投影用相应的小写字母加两撇（如a″、b″、c″、d″等）。

2.点的两面投影规律

为研究点的两面投影规律，任取两投影面，如图2-7 所示为空间上两个相互垂直的投影面V 面与H 面。

图2-7　点的两面投影

（a）直观图；（b）投影面展开；（c）投影图

使V 面不动，将H 面绕X 轴向下旋转90°与V 面展成一个平面，去掉投影面边框，得到点的两面投影图，简称点的两面投影，如图2-7（c）所示。

由图2-7 总结点的两面投影规律为：

（1）两投影s、s′的连线ss′垂直于投影轴X 轴；

（2）点的投影到投影轴的距离等于空间点到另一投影面的距离，即s′sx 为点S 到H 面的距离，ssx 为点S 到V 面的距离。

可见，已知一点的两面投影，即可唯一确定该点的空间位置。

3.点的三面投影规律

如图2-8 所示，将三面体系展开，得到点S 的三面投影图，由图中三面投影图的形成过程，可总结出点的三面投影规律。

（1）点的投影的连线垂直于相应的投影轴（如点的正面投影与水平投影的连线ss′垂直于X 轴，点的正面投影与侧面投影的连线s′s″垂直于Z 轴）。

（2）点的投影到投影轴的距离等于空间点到相应的投影面的距离，即

ssy=s′sz=S 点到W 面的距离Ss″=S 点的X 坐标，即“长对正”；

ssx=s″sz=S 点到V 面的距离Ss′=S 点的Y 坐标，即“宽相等”；

s′sx=s″sy=S 点到H 面的距离Ss=S 点的Z 坐标，即“高平齐”。

（3）点的一个投影只能反映该点的两个坐标。利用任意点的两个投影即可求出其第三个投影，得出3 个坐标，从而确定点的空间位置。(www.xing528.com)

图2-8　点的三面投影图

利用点的三面投影规律，可以由点的已知的两个投影图作出点的第三个投影图。

4.两点的相对位置

两点的相对位置，是指空间点在投影体系中的相对位置，即两点间的左右、前后和上下的位置关系。在三面投影体系中，需要分析清楚两点在各个投影面上的投影坐标关系，判断两点的相对位置。

1）判断两点相对位置的原则

两点的相对位置关系由两点的坐标差来确定，即：

两点的左右相对位置由X 坐标差来确定；

两点的前后相对位置由Y 坐标差来确定；

两点的上下相对位置由Z 坐标差来确定。

规定：Z 坐标值大者为上，小者为下；Y 坐标值大者为前，小者为后；X 坐标值大者为左，小者为右。

如图2-9 所示，先选定点A（或B）为基准，然后将点B（或A）的坐标与之进行比较。

（1）XB ＜XA，表示点B 在点A 的右方。

（2）YB ＜YA，表示点B 在点A 的后方。

（3）ZB ＞ZA，表示点B 在点A 的上方。

故点B 在点A 的右后上方；反之，点A 在点B 的左前下方。若已知两点的相对位置，以及其中一点的投影，就可以作出另一点的投影。

图2-9　点A，B 的相对位置

2）重影点及其可见性

当两点的某两个坐标分别相等时，也就是当其坐标差为0 时，该两点位于同一投射线上，它们在与投射线垂直的投影面上的投影重合，称为重影点。如图2-10（a）所示，C、D 两点位于垂直V 面的投射线上，C、D 两点称为对V 面的重影点。

规定观察方向与投影面的投射方向一致，即对V 面观察由前向后，对H 面观察由上至下，对W 面观察由左向右，则较高、较前、较左的点的投影可见，反之不可见。由图2-10（b）可知Xc ＞XE，Zc=ZE，YC=YE，表示C 点位于E 点的左方，其在W 面的投影可见，E点位于C 点的右方，被C 点挡住了，其在W 面的投影不可见（规定把不可见的点的投影符号加注括号），这就是投影的可见性。

重影点是后续研究直线、平面以及立体等的投影时判别可见性的基础。

图2-10　重影点的投影及可见性