依据普朗克假说的能量量子化解释的光电效应试验规律性

1.普朗克假设 1900年，普朗克对当时已有以经典物理学黑体辐射公式，特别是瑞利-金斯公式进行分析，发现它们与试不符的根本原因，在于坚持“谐振子能量连续变化”这一经典概念。由此，他大胆提出了一个新的假设（普朗克假设）：率为ν的谐振子的能量取值ε，只能是基本单元ε₀的整数倍，即

ε=nε₀=nhν（n=0，1，2，…） （2-45）因此谐振子发射与吸收光能时，也只能采取一份一份的形式，每份能量为ε₀。ε₀称为能量子，其计算公式为

ε₀=hν （2-46）

式中 h———与频率和辐射性质无关的普适常数，叫做普朗克常数，精确测定的h值为h=

6.626176×10^-34J·s。

ν———频率（Hz）。

2.黑体辐射的普朗克公式

式（2-47）和式（2-48）称为黑体辐射的普朗克公式。普朗克公式与试验结果的完全符合，不仅解决了黑体辐射理论的基本问题，而且揭示了有关辐射能量的量子性。

1900年，普朗克假说的精髓是能量的不连续性，或称能量的量子化，辐射场本身也是量子化的。普朗克假说中的能量单元hν（h为普朗克常数，ν为频率）不仅仅是一种数学模型，而且具有实在和物质载体———光量子。1905年，爱因斯坦推广了普朗克关于光量子的概念；认为光在传播过程中具有波动的特性，而在光和物质相互作用的过程中，光能量是集中在一些叫做光量子（简称光子）的粒子上。一个光子的能量是传递给金属中的单个电子的，电子吸收一个光子后，把能量的一部分用来挣脱金属对它的束缚，余下的一部分就变成电子离开金属表面后的动能。

1905年，爱因斯坦将1900年普朗克假说的量子概念，推广到光在空间中的传播。他假设：频率为ν的光束是由称为光子的粒子所组成，每一束光子的能量E=hν，它仍保持着频率（及波长）的概念。利用这一假设，爱因斯坦成功地解释了光电效应的实验规律。爱因斯坦认为，光电效应可看着电子对光子的吸收过程。频率为ν，即能量为hν的光子打在金属上，金属中的电子要么完全吸收一个光子（ν≥ν₀），获得能量hν，要么完全不吸收。在电子吸收光子的过程中，应满足能量守恒关系。内层及表层电子对光子的吸收过程如图2-12所示。

图2-12 内层及表层电子对光子的吸收过程

设Φ为电子从金属内部某一位置运动到表面，需要克服内部引力所做功；Φ₀为从金属表面逸出所做功，Φ₀称为金属的脱出功或功函数。由于电子的平均热运动动能远小于Φ₀，因此把电子的初态看作是静止的。这时对内层电子而言其能量守恒关系为

式中 v———电子逸出金属时的速度（m/h）。

不同深度的电子运动到表层需作的功Φ不同，故在同样的入射光频率下逸出电子的初速度v有一定的分布。对表层电子，Φ=0，电子所吸收的光子能量只需克服脱出功Φ₀，其余部分转化为光电子的初动能。对给定v值，v达到最大，为v_M，则有

式（2-49）称为描述光电效应的爱因斯坦方程。

下面介绍一些计算公式：

1）一个光子的质量（光子无静质量）

2）光子的动量

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3）康普顿效应

X射线（波长=0.0712605nm）被物质散射后，散射光中除有原入射光波长成分外，还有波长变长的成分，这种现象称为康普顿效应或康普顿散射。

4）波长改变量Δλ与散射角的关系

Δλ与物质无关，因为康普顿散射是光子与电子的相互作用，而任何物质中的电子都是相同的。

对于光子，其能量E=hν，故其质量m=hν/c²（光子无静质量）。康普顿效应中动量守恒如图2-13所示。

设碰撞前入射光子频率为ν₀，电子处于静止状态；碰撞后光子向θ方向散射，频率变为ν，而电子则以速度v向φ方向飞去。表2-10列出碰撞前后光子和电子的能量和动量。

当入射光子频率较低时，试验观察不到康普顿效应。太阳电池关注的是波长在10^-8m以上的波，因此康普顿效应不作重点讨论。

图2-13 康普顿效应中动量守恒

表2-10碰撞前后光子和电子的能量和动量

根据假设及爱因斯坦方程，可以圆满地解释光电效应的试验规律性，并从理论上得出红限、饱和电流、遏止电压、延迟时间试验值的表达式。

（1）红限。对于每一种金属，只有当入射光频率等于或大于一定值ν₀，或波长等于或小于一定值λ₀时，光电效应才可发生。频率ν₀或波长λ₀是光电阴极金属的属性，称为光电效应的红限。只有光子能量hν≥Φ₀，光电效应才能发电。

由式（2-49）可知，当ν=ν₀时，v_M=0，所以hν₀=Φ₀，得频率的红限为

（2）饱和电流。入射光强度越大，单位时间内射向金属表面的光子越多，金属发射的光电子越多，所以饱和电流与入射光强度成正比。

（3）遏止电压

遏止电压V₀与入射光强度无关，与频率成线性关系。其系数与材料无关。

（4）延迟时间。光子与电子的作用过程是瞬时守成的，只要入射光频率大于红限，电子即可一次全部吸收光子能量，无需能量的长时间积累，故光电效应无需延迟时间。