多目标优化算法的分类 改为 分类多目标优化算法

多目标优化算法大致上可以分为聚合法、基于群体的非Pareto法和基于Pareto的方法三类。

1.5.3.1　聚合法

聚合法是将多个目标聚合成一个函数来进行优化，这类方法主要有加权法、约束法、目标规划法、混合法和最小最大法等。

1.加权法

加权法通过将所有的目标函数乘以不同的权重，再把它们加起来作为有待优化的单一目标，即

式中：x∈Xf，Xf为可行域。

不同的权重会得到不同的结果，用权重法求解的一种方法就是采用各种不同的权重，从而得到一组解，此时需要决策者根据自己的要求从中做出最佳选择。

权系数ωi是一小数（0≤ωi≤1），所有的权系数之和为1，即

此方法中最优解由权系数向量ω控制。

2.目标规划法

在使用这种方法时，决策者需要确定每一个目标函数所要达到的值，这些要求作为额外的约束条件引入到问题中。因此，目标函数就转化为最小化这些目标函数值与相应要求值之间的差距，其最简单的模型为

式中：Ti表示决策者对于第i个目标函数fi（x）的理想目标值；Xf表示可行域。

由此优化问题即可以转化为最小化所有目标函数实际可以达到的值和理想目标值之间差的绝对值之和，称为目标向量优化法。此方法适用于目标函数是线性的或者部分线性的情况，对于非线性情况不太适用。

3.最小最大法

此方法试图最小化个体最优的单个目标函数的相关偏差，也就是尽可能最小化目标冲突。对于最小化问题，相应的最小最大问题的通式可以表示为

式中：x∈X，X为可行域；Zj（x）由非负目标最优值＞0通过下式计算：

当待优化的目标优先权相同时，这一方法能产生最好的折中解。通常可通过引入小范围权重改变每一个目标的优先权，也可以引入需求标准矢量化为目标规划技术。

1.5.3.2　基于群体的非Pareto法

1.Lexicographic Ordering

1985年，Fourman首次提出将目标按重要性排序，然后依次选择目标进行优化，也可以在每一代进化中随机地选择一个目标进行优化。

2.向量评估遗传算法（VEGA）

于1986年，Steuer将一个规模为M的群体分成k个子群体并分别针对不同的子目标进行优化，每个子群体规模为M/k，其中k为目标数，然后将k个子群体混合到一起进化。该方法的不足之处为当True Pareto Front呈非凸时难以找到最优解，优点为方法简单、易于实现，一次运行即可以产生多个解。

3.可变目标权重聚合法（HLGA）

该方法的思想为基于权重理论，按适应度分配使用各目标函数加权和。与传统权重方法不同，为了并行搜索，每个个体的适应度即目标函数权重的组合各不相同，问题解和权重同时实施进化操作。

4.Aggregating Approaches(www.xing528.com)

该方法采用fitness combination方法（线性或非线性），对所求的个体适应度进行选择操作，每次运行时产生一组解。由于采用了带权组合方法求个体适应度，因此将会丢失一些属于最优边界上的解。

5.Target－vector Approaches

该方法的特点为将一个目标与其期望的目标之间的距离作为组合适应度。

6.Theε－constraint Method

此方法提出先最小化所有目标函数中首要的一个，首先将其余各个目标函数视为某种程度上εi可以违反的约束条件；然后通过选取不同的εi得到非劣解集。其不足之处为耗时太多，针对具有太多目标函数的问题时，编码有很大困难。

1.5.3.3　基于Pareto优化的方法

基于Pareto优化的方法，其主要优点是简单、易于实现，同时具有较高的效率，但是该方法限制了搜索空间，不能找出所有的可能解。

1.Pure Pareto Ranking

该方法引入Pareto Rank机制来实现选择操作，但通用性欠佳，因为它需要根据具体的优化对象来选择维持解群体多样性的方法。

2.MOGA

MOGA算法由Fonseca和Fleming提出，该方法采用了基于一代个体数量的排序方法，其不足之处是如果小生境信息是基于目标函数的，则两个具有相同目标函数向量的不同个体是无法在同一代种群中存在的，而这两个解可能恰巧为决策者想要的结果。该方法的优点是效率较高，且易于实现。

3.MOMGA和MOMGA－Ⅱ

Van Veldhuizen和Lamont于2000年提出MOMGA算法，它改进了可变长个体的遗传算法，并把它应用于多目标优化问题中。该算法包括初始化、原始和并列三个阶段。初始化阶段中产生所有个体，然后在原始阶段通过锦标赛选择策略选择个体。若有必要可以改变种群的大小，在并列阶段采用切断和接合相结合的算子产生新的种群。此后，Zydallis于2001年提出了MOMGA－Ⅱ算法，采用了快速可变长个体的进化算法思想。

4.NSGA

NSGA即非支配排序遗传算法，它是由Srinivas和Deb等基于个体的多层次分类而提出的新的构造非支配集的方法。该方法的主要步骤：通过一个二重循环计算每个个体的ni和si，其中ni记录支配个体i的个体数，si记录被个体i支配的个体集合；按方法Pk＝｛所有个体i ni－k＋1＝0｝求支配集和非支配集，其中P1为非支配集，其他为支配集。

5.NSGA－Ⅱ

针对NSGA的不足，Deb等提出了非支配集排序的方法NSGA－Ⅱ。该方法在包含父种群的子种群交配池中，依照适应度和分布度选择最好的N个个体，这种新的选择操作使解具有较好的分布性。除此之外，算法采用了快速排序的方法来构造非支配集，降低了时间复杂度。其不足之处为难以找到孤立点，另外当目标数增加时可能产生搜索偏移。

6.NPGA和NPGA－Ⅱ

基于Pareto支配关系，Horn和Nafpliotis提出了基于小生境的NPGA算法。该算法随机地从进化群体中选择两个个体，再随机地从进化群体中选取一个比较集CS，如果其中一个个体不受CS支配，则该个体将被选中参与下一代进化，否则采用小生境技术实现共享来选取其中之一参与下一代进化。

Erickson于2001年提出NPGA－Ⅱ算法，它采用Pareto Ranking机制，同时也保留了锦标赛选择，另外还采用了共享适应度策略来计算小生境值，不足之处为通用性较差。

为了进一步提高算法的效率和有效性，外部集概念被引入。外部集通过存放当代的所有非支配个体，从而使解集保持较好的分布度。典型的算法包括PAES和PESA等。

7.SPEA和SPEA2

1999年，SPEA算法由Zitzler和Thiele提出。该算法的特点包括：除进化群体Pop外，SPEA额外设置了一个外部集来保留进化中发现的非支配个体，并且外部集随群体的进化不断更新；用聚类过程来维持群体的多样性；按照个体前度对个体进行适应度赋值。2001年，Zitzler又提出SPEA2算法，它通过最近邻居密度评估策略保持了解的多样性，并且改变了SPEA关于适应度赋值的策略，大大提高了算法的性能。

对于冷连轧控制系统而言，其具有多变量、强耦合及深度非线性的特点，是最复杂的控制系统之一。冷连轧控制实现的过程中，通常不只包含一个目标，而是涉及多个目标，因此冷连轧控制系统的优化问题实质上是多目标优化问题。