多目标优化：理论与术语

1.5.2.1　多目标优化问题

一般多目标优化问题可以用数学表达式描述：

式中：n维决策向量x＝（x1，x2，…，xn）∈X，k维目标向量y＝（y1，y2，…，yk）∈Y，X表示决策向量形成的决策空间，Y表示目标向量形成的目标空间，而g（x）为约束条件，它决定了决策向量的可行取值范围。优化函数将决策向量x映射到目标向量y，记为F：Ω→Λ。以上考虑为最小化问题，对于最大化问题有相似的定义。

1.5.2.2　可行解集

可行解集Xf为所有满足约束条件的决策向量x的集合，即

那么相对应的目标空间为

1.5.2.3　Pareto优胜关系

对于两个目标向量z1和z2，它们之间的关系如下。

（1）严格优于关系“≻≻”。如果z1在所有目标上都好于z2，则z1严格优于z2，表示为 z1≻≻z2。

（2）优于关系“≻”。如果z1在所有目标上都不差于z2，并且至少在一个目标上z1要好于z2，则z1优于z2，表示为z1≻z2。

（3）弱优于关系“≥”。如果z1在所有目标上都不差于z2，则z1弱优于z2，表示为z1≥z2。(www.xing528.com)

（4）不可比较关系“‖”。如果z1既不弱优于z2又不被z2弱优于，则z1与z2不可比较，表示为z1‖z2。

（5）无差别关系“～”。如果z1在所有目标上都与z2相等，则z1无差别于z2，表示为z1～z2。

1.5.2.4　Pareto最优解

对于集合A⊆Xf，决策向量x∈Xf为非劣的，即当且仅当x在Xf中是非劣的，决策向量x才是Pareto最优解。Pareto最优解之间是无差别关系，所有Pareto最优解的集合称为Pareto最优解集。当对应到图形上时，二维目标函数的Pareto最优解集对应曲线，称为Pareto前沿；三维目标函数的Pareto最优边界构成曲面，3个以上的最优边界构成超曲面。

因为几个解可能会映射到同一个目标向量，所有Pareto前沿中所包含的最优目标向量的数量可能不会与Pareto最优解集中解的数量相同。

1.5.2.5　Pareto近似解集

多目标优化问题的搜索空间中包含很多决策向量，目标空间中包含很多目标向量，搜索的焦点是相互之间不可比较的解的集合，称为Pareto近似解集。于是相互之间不可比较的目标向量的集合在这里称为Pareto近似前沿。

可以将上面用于表示决策向量和目标向量之间关系的Pareto优胜关系进行扩展来表示Pareto近似解集和Pareto近似前沿之间的关系。表1－2给出了目标向量和近似解集之间所有的对应关系。

表1-2　目标向量和近似解集之间的对应关系