确定积分常数的条件说明，

当梁仅需列出一段挠曲线方程时，将出现两个积分常数，当梁需列出n段方程时，将出现2n个积分常数，必须写出2n个确定积分常数的条件才能完全确定挠度方程和转角方程。

1.支撑条件

在梁的支座处，挠度和转角是已知的。

（1）刚性支撑。刚性支撑即认为支座处的变形相对梁的变形可以不计。如在图7-7（a）所示的固定端支撑处，其挠度和转角均应为零；在图7-7（b）所示的铰链支撑处，挠度应等于零。

图7-7　刚性支撑

（2）弹性支撑。当支座为弹簧[图7-8（a）]或为杆件[图7-8（b）]，这时支座处的变形不能略去。不过，这些弹性支撑处的变形根据梁的受力情况是可以求出的。

图7-8　弹性支撑

2.连续条件

（1）挠度连续。挠曲线应该是一条连续光滑的曲线，即其挠度是连续的，不应有图7-9（a）所示C截面左右挠度不等的情况。

（2）转角连续。同一截面的转角应是相等的，即转角应是连续的，挠曲线是光滑的。不能有图7-9（a）所示D截面左右转角不等的情况。

图7-9　梁的连续条件

注意：对于具有中间铰的组合梁，在中间铰左右两截面的挠度依然应相等，但转角可不等[图7-9（b）]。

支撑条件和连续条件统称为边界条件。根据全部的边界条件就可以确定出全部的积分常数，即可求出挠度方程和转角方程，这种求梁挠度和转角的方法称为积分法。

【例7-1】　图7-10（a）为镗刀在工件上镗孔的示意图。为保证镗孔精度，镗刀杆的弯曲变形不能过大。设径向切削力F＝200N，镗刀杆直径d＝10mm，外伸长度l＝50mm。材料的弹性模量E＝210GPa。求镗刀杆上安装镗刀头的截面B的转角和挠度。

解：镗刀杆可简化为悬臂梁[图7-10（b）]。选取坐标系如图，任意截面上的弯矩为

由式（7-6），得挠曲线近似微分方程

积分得

图7-10　例7-1图

下面确定积分常数C、D。

在固定端A，转角和挠度均应等于零，即x＝0时

把边界条件式（d）、式（e）分别代入式（b）、式（c），得

再将所得的积分常数C和D代回式（b）、式（c），得转角方程和挠曲线方程分别为

将x＝l代入上两式，就得截面B的转角和挠度分别为

θB为负，表示截面B的转角是顺时针的；fB为负，表示B点的挠度是向下的。

由θB及fB的表达式可看出，为了减少θB及fB以提高镗孔的精度，首先应尽量减小镗杆的伸出长度l；其次，镗杆的直径应取得较大以提高I数值；而镗孔时的加工量不宜过大以使F较小。

若令F＝200N，E＝210GPa，l＝50mm，d＝10mm，

由

得出

请读者结合工程实际对其结果进行讨论。

【例7-2】　试讨论在均布荷载作用下，简支梁的弯曲变形（图7-11）。

解：由对称性可知，梁的支反力相等，且为

图7-11　例7-2图

则任意横截面上的弯矩为

故挠曲线近似微分方程为

将挠曲线近似微分方程进行积分，得

C、D由以下边界条件来确定。

当x＝0时，vA＝0(www.xing528.com)

当x＝时，＝0（根据对称性）

把以上两个边界条件分别代入v和v′的表达式中，可以求出

于是得转角方程及挠度方程为

由于梁中点转角为零，即＝0，故最大挠度发生在梁中点，即

最大转角发生在B、A两截面，它们数值相等，符号相反，且为

在以上两个例题中，弯矩方程只需—个表达式，故在积分时只出现两个积分常数C和D。并且可以看出，此时C和D具有明显的力学意义，即分别是坐标原点处的转角和挠度的EI倍。

【例7-3】　内燃机中的凸轮轴或某些齿轮轴，可以简化成在集中力F作用下的简支梁，如图7-12所示。试讨论这一简支梁的弯曲变形。

图7-12　例7-3图

解：利用平衡方程，求得支反力为

根据荷载情况，应分两段列出弯矩方程，即

由此，挠曲线的近似微分方程也应分成两段来积分。在CB段积分时，为了能使确定积分常数的运算得到简化，对含有（x2－a）一项应以（x2－a）为自变量，而不要把括号打开。最终积分结果如下

以上积分中出现的四个积分常数，需要四个条件来确定。由于挠曲线应该是一条光滑连续的曲线，因此，在AC和CB两段的交界截面C处，两段应有相同的转角和挠度，即

在式（a）至式（d）诸式中，令x1＝x2＝a，并利用上述的连续性条件，可得

此外，梁在A、B两端的边界条件为

将式（e）代入式（b），得D1＝D2＝0

将式（f）代入式（d），得

把所求得的四个积分常数代回式（a）至式（d）四式，得转角方程和挠度方程如下

最大转角：在式（g）中x1＝0，在式（i）中令x2＝l，得梁在A、B两端的截面转角分别为

当a＞b时，θB便为最大转角。

最大挠度：当θ＝dv/dx＝0时，v有极值，所以应首先确定转角θ为零的截面位置。因θA为负，又有式（i）中令x2＝a，可求得截面C的转角为

如a＞b，则θC为正。根据挠曲线的光滑连续性，θ＝0的截面必然在AC段内。令式（g）等于零，得

x0即挠度取最大值的截面位置。以x0代入式（h），求得最大挠度为

当集中力F作用于跨度中点时，a＝b＝l/2，由式（k）得x0＝l/2，即最大挠度发生于跨度中点，据式（l）得其值为fmax＝这由挠曲线的对称性也可直接看出。另一种极端情况是集中力F无限接近于右端支座，以至b2与l2相比可以省略。于是由式（k）及式（l）两式，得

可见即使在这种极端情况下，其最大挠度仍发生在跨度中点附近。故可以用跨度中点的挠度来近似地代替最大挠度。在式（h）中令x＝l/2，求得跨度中点的挠度为

在上述极端情况下，集中力F无限靠近支座B，则有

这时用fl/2代表fmax所引起的误差为

可见在简支梁中，只要挠曲线上无拐点，便可用跨度中点的挠度来代替最大挠度，且不会引起很大误差。

积分法的优点是可以求得转角和挠度的普遍方程。但当只需要确定某些特殊截面的转角和挠度时，积分法就显得过于麻烦。为此，将梁在某些简单荷载作用下的变形列入表7-1中，以便直接查用，而且利用这些表格，使用叠加法，可比较方便地解决一些弯曲变形问题。

表7-1　梁在简单荷载作用下的变形

（续表）

（续表）