矩形截面梁的切应力分析

本节将推导矩形截面梁的切应力计算公式。

矩形截面梁的切应力公式的推导，是在讨论正应力的基础上并采用了下列两条假设的前提下进行的。

（1）截面上各点切应力的方向都平行于截面上的剪力FS。

（2）切应力沿截面宽度均匀分布，即距中性轴等距离各点的切应力相等。

由弹性力学进一步的研究可知，以上两条假设，对于高度大于宽度的矩形截面是足够准确的。有了这两条假设，使切应力的研究大为简化，仅通过静力平衡条件，即可导出切应力的计算公式。

图6-15所示为承受任意荷载的矩形截面梁，截面高为h、宽为b。在梁上任取一横截面a-a，现研究该截面上距中性轴为y的水平线cc′处的切应力。根据上述假设可知，cc′线上各点的切应力大小相等，方向都平行于y轴。

图6-15　承受任意荷载的矩形截面梁

通过a-a与b-b两个横截面截取一微段梁，微段梁的长度为dx。我们先分析一下该微段梁两侧面上的内力和应力情况。两侧面上的内力如图6-16（a）所示：左侧a-a截面上存在剪力FS和弯矩M（假定内力均为正），右侧截面上的剪力和弯矩为FS和M＋dM。因微段梁上没有横向荷载，所以右侧截面上的剪力与左侧上的相同，仍为FS。由于左、右两截面的位置相差dx，因此右侧截面上的弯矩比左侧上多一增量dM。微段梁上的应力情况如图6-16（b）所示：两侧面都存在切应力与正应力，切应力的方向与剪力FS一致；正应力中性轴以下为拉应力，以上为压应力。由于b-b截面上的弯矩M＋dM大于a-a截面上的弯矩M，所以b-b截面上的正应力大于a-a截面上相应位置的正应力。

现目的是要计算a-a截面cc′水平线上各点的切应力τ，但直接求τ有困难，不容易把切应力与内力联系起来。所以，采用如下办法：用过cc′的水平面将微段梁截开，并保留下部脱离体[图6-16（c）]，由于脱离体侧面上存在竖向切应力τ，根据切应力互等定理可知，在脱离体的顶面（cc′dd′）上一定存在切应力τ′，且τ′＝τ，如果能求得τ′，也就求得了τ。

切应力τ′可通过脱离体的平衡条件求得。作用在脱离体上的力如图6-16（d）所示（脱离体上的竖向力未画，因只需列∑Fx＝0）。FN1和FN2分别代表左侧和右侧面上法向内力的总和，dFS代表顶面上水平切应力的总和。由平衡条件∑Fx＝0，得

合力FN1可通过积分求得

式中，σ1dA为脱离体左侧微面积dA上的法向合力，A∗为脱离体左侧面的面积。将σ1＝M·y1/Iz代入上式，得

图6-16　微段梁两侧面上的内力和应力

式中

为脱离体侧面面积A∗对截面中性轴（z轴）的静矩。

同理可得

由于微段梁的长度很小，脱离体顶面上的切应力可认为是均匀分布的，所以

将FN1、FN2和dFS代入式（6-10），得

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经整理得

式中，＝FS将其代入上式得

因

所以

式（6-11）就是矩形截面梁横截面上任一点的切应力计算公式。式中FS为横截面上的剪力；Iz为截面对中性轴的惯性矩；b为截面的宽度；Sz为面积A∗对中性轴的静矩。A∗是过欲求应力点的水平线到截面边缘间的面积。

剪力FS和静矩Sz均为代数量，但在利用式（6-11）计算切应力时，FS与Sz均以绝对值代入，切应力的方向可依剪力的方向来确定（τ与FS的方向一致）。

下面讨论切应力沿截面高度的分布规律。对某一截面来说，式（6-11）中的FS、Iz、b均为常量，只有静矩Sz随欲求应力的点到中性轴的距离y而变化。面积A∗对中性轴的静矩为

将上式及Iz＝代入式（6-11），得

此式表明，切应力沿截面高度按二次抛物线规律变化（图6-17）。当y＝±时，τ＝0，即上、下边缘处切应力等于零。当y＝0时，τ＝τmax，即中性轴上切应力最大（这与正应力的分布规律恰好相反）。中性轴上的最大切应力为

图6-17　切应力沿截面高度按二次抛物线规律变化

即矩形截面上的最大切应力为截面上平均切应力的1.5倍。

【例6-6】　一矩形截面简支梁如图6-18所示，已知l＝3m，h＝160mm，b＝100mm，h1＝40mm，F＝3kN。试求m－m截面上K点的切应力。

图6-18　例6-6图

解：求得m－m截面上的剪力为3kN，截面的惯性矩及面积A∗对中性轴的静矩分别为

K点的切应力为