正应力公式的推导过程

公式的推导思路是：先找线应变ε的变化规律（因正应力的变化规律难以直接找到），通过胡克定律σ＝Eε把线应变与正应力联系起来，再通过静力平衡条件把应力与内力联系起来，从而推导出正应力的计算公式。其过程与推导圆轴扭转的切应力公式相似，即需综合考虑几何、物理和静力学三方面。

1.几何方面

为了找线应变ε的规律，将图6-3（b）改画为平面图形[图6-3（c）]。在图6-3（c）中，曲线在中性层上，所以其长度仍为原长dx。现在研究距中性层为y的任一层上纤维K1K2的长度变化。K1K2是位于中性层的下边，它比变形前伸长了，其伸长量为

将其代入上式得

纵向纤维的相对伸长则为

即

式（6-1）就是线应变ε的变化规律。它表明：线应变与纤维所在的位置有关，离中性层越远，线应变越大；线应变与梁变形后的弯曲程度有关，曲率越大时，同一位置的线应变也越大。

2.物理方面

前面已设想梁是由一层层的纵向纤维组成，若各层纤维间没有挤压作用（即假设各层纤维间无挤压），则各条纤维均处于单向受力状态（即处于轴向拉、压），因此，在弹性范围内正应力σ与线应变ε的关系为σ＝Eε（胡克定律）。将式（6-1）代入σ＝Eε，便可得正应力的变化规律，即

上式与式（6-1）类似，它表明：横截面上离中性轴越远的位置，正应力越大；梁弯曲后曲率越大，同一位置的正应力也越大。

3.静力学方面

式（6-2）虽然说明了正应力在横截面上的分布规律，但还算不出各点的正应力数值，因为中性轴的位置目前还不知道，y值尚无法确定，另外，曲率也属未知。这些问题将通过研究横截面上分布内力与总内力之间的关系来解决。

在横截面上取微面积dA（其形心坐标为z、y，图6-4），微面积上的法向内力可认为是均匀分布的，其集度为正应力σ。因此，微面积上的法向内力为σdA，整个横截面上的法向内力可组成下列内力分量：

图6-4　横截面上取微面积dA

在纯弯曲时，横截面上轴力为零，而绕z轴的力矩Mz则为横截面上的弯矩，即

先讨论中性轴的位置。将式（6-2）代入式（6-3），得

将常量提出得

因≠0，所以

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是横截面对中性轴（z轴）的静矩，且等于零，表明中性轴通过截面的形心。下面讨论曲率的确定。

将式（6-2）代入式（6-4）得

改写为

式中，为横截面对中性轴的惯性矩，经整理可得下列计算曲率的关系式

由上式可知，曲率与M成正比，与EIz成反比，这表明：梁在外力作用下，横截面上产生的弯矩越大，梁的弯曲程度就越大；而EIz值越大，则梁越不易弯曲。EIz称为梁的弯曲刚度，其物理意义是表示梁抵抗弯曲变形的能力。

式（6-5）不仅这里推导正应力公式要用到，该式也是弯曲理论中的一个重要公式，它是计算梁弯曲变形的基础，在下一章讨论弯曲变形以及后面讨论压杆稳定时，都要用到它。将式（6-5）代入式（6-2）得

式（6-6）就是梁纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。式中M为横截面上的弯矩；Iz为截面对中性轴的惯性矩；y为欲求应力的点到中性轴的距离。

式（6-6）表明：正应力σ与M和y成正比，与Iz成反比；正应力沿截面高度成直线规律分布，距中性轴越远越大，中性轴上（y＝0处）正应力等于零。横截面上正应力的分布规律如图6-5所示。

图6-5　横截面上正应力的分布规律

在用式（6-6）计算正应力时，可不考虑式中M、y的正负号，均以绝对值代入，最后由梁的变形来确定是拉应力还是压应力。当截面上的弯矩为正时，梁下边受拉，上边受压，所以中性轴以下为拉应力，中性轴以上为压应力。当截面的弯矩为负时，则相反。

为了便于正确使用式（6-6），这里列出两点适用情况：

（1）式（6-6）是在纯弯曲的情况下导出的，实际工程中的梁，其横截面上大多同时存在着弯矩和剪力，并非纯弯曲（此时称为剪力弯曲）。但根据实验和进一步的理论研究可知，剪力的存在对正应力分布规律影响很小，因此对剪力弯曲的情况，式（6-6）仍然适用。

（2）式（6-6）是从矩形截面梁导出的，但对截面为其他对称形状（如I形、T形、圆形等）的梁，也都适用。

【例6-1】　长为l的矩形截面梁（图6-6），在自由端作用一集中力F，已知h＝0.18m，b＝0.12m，y＝0.06m，a＝2m，F＝1.5kN。试求C截面上K点的正应力。

解：先算出C截面上的弯矩

图6-6　例6-1图

截面对中性轴（即水平对称轴）的惯性矩为

将MC、Iz及y代入正应力式（6-6）。代入时，MC、y均不考虑正负号而以绝对值代入，则

C截面的弯矩为负，K点位于中性轴上边，所以K点处的应力为拉应力。

在国际单位制中，应力的单位为Pa；在计算梁的正应力时，弯矩的单位用N·m，y的单位用m，惯性矩的单位用m4，则算得的应力单位即Pa。