剪力图和弯矩图解析

在一般情况下，梁的不同截面上的内力是不同的，即剪力和弯矩是随截面位置而变化的。由于在进行梁的强度计算时，需要知道各横截面上剪力和弯矩中的最大值以及它们所在截面的位置，因此就必须知道剪力、弯矩随截面而变化的情况。为了便于形象地看到内力的变化规律，通常是将剪力、弯矩沿梁长的变化情况用图形来表示，这种表示剪力和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。

剪力图、弯矩图都是函数图形，其横坐标表示梁的截面位置，纵坐标表示相应截面的剪力、弯矩。画剪力图、弯矩图的基本方法是：先列出剪力、弯矩随截面位置而变化的函数式，再由函数式画成函数图形。

下面讨论剪力图、弯矩图的具体画法。

一悬臂梁，自由端作用荷载F[图4-23（a）]，画此梁的剪力图和弯矩图时，取距左端为x的任一横截面m－m，按上节求指定截面内力的办法，列出m－m截面上的剪力和弯矩的表达式：

这里用FS（x）、M（x）表示m－m截面上的剪力、弯矩。由于m－m截面是距左端为x的任意截面，因此随截面位置x的不同，通过上两式便可算出相应截面上的剪力和弯矩。上两式是剪力和弯矩的函数表达式，又称为剪力方程和弯矩方程。这两个表达式适用于全梁。

剪力表达式为一常量，表明各截面的剪力都相同，剪力图为一平行于横坐标轴的直线[图4-23（b）]。把正的剪力画在坐标轴的上边，负的剪力画在下边。

图4-23　悬臂梁剪力图、弯矩图

弯矩表达式是x的一次函数，所以弯矩图为一斜直线，只要确定直线上的两个点，便可画出此直线：当x＝0，M0＝0；x＝l，Ml＝－Fl，弯矩图如图4-23（c）所示。在土建工程中，通常是把弯矩图画在梁的受拉一侧，所以，正弯矩画在横坐标轴的下边，负弯矩画在上边。

承受均布荷载的简支梁如图4-24（a）所示，画此梁的剪力图和弯矩图时，先求出梁的支反力：FRA＝FRB＝。取距左端为x的任一横截面m－m，此截面的剪力和弯矩表达式分别为

这两个表达式适用于全梁。

剪力表达式是x的一次函数，通过：x＝0，FS0＝；x＝l，FSl＝－画出剪力图如图4-24（b）所示。从图中看到，梁两端的剪力最大（绝对值），跨中剪力为零。

弯矩表达式是x的二次函数，通过：x＝0，M0＝0；x＝，Ml/2＝；x＝l，Ml＝0可画出弯矩图的大致图形。弯矩图如图4-24（c）所示，梁的跨中（x＝处）弯矩最大，其值为

图4-24　承受均布荷载的简支梁

画剪力图和弯矩图时，一般可不画FS与M的坐标方向，其正负是用⊕或⊖来表示，而剪力图、弯矩图上的各特征值则必须标明。

下面再讨论两种常见的典型情况。

一简支梁在C处作用一集中力F，画此梁内力图时，不同于前两例的特点是：内力在全梁范围内不能用一个统一的函数式来表达，必须以F的作用点C为界分段来列内力表达式，因此需分段画出内力图。

先讨论剪力图。用x1表示左段（AC段）任意横截面到左端的距离，用x2表示右段（CB段）中任意横截面到左端的距离。两段的剪力表达式分别为

这里应注意内力表达式的适用范围，上式只适用于左段梁，下式只适用于右段梁。两段的剪力表达式均为常量，所以剪力图为平行于横坐标的两段直线[图4-25（b）]。

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图4-25　剪力图

从图4-25（b）看到，剪力图在集中力F作用处（C处）是不连续的。C截面左侧的剪力值为，C截面右侧的剪力值为－，剪力图通过C发生了“突变”。从图上还可看到，该突变的绝对值为＝F，即等于梁上的集中力。这种情况是普遍现象，由此可得结论：在集中力作用处剪力图发生突变时，突变值等于该集中力的大小。因此，当描述集中力作用处的剪力时，不能笼统，必须指明是集中力的左侧截面还是集中力的右侧截面，两者是不同的。

上述不连续的情况，是由于假定集中力F是作用在一个“点”上造成的。实际上，F不可能作用在一个“点”上，而总是分布在梁的一小段长度上，如果将力F按作用在梁的一小段长度上的均布荷载来考虑[图4-26（a）]，剪力图就不会发生突变了[图4-26（b）]。

图4-26　力作用在梁上

下面讨论弯矩图。两段的弯矩表达式分别为

上二式分别适用于梁的左段与右段。二式均为x的一次函数，弯矩图为两段斜直线，通过

画得弯矩图如图4-25（c）所示。

由此例可知，当梁上荷载有变化内力不能用一个统一的函数式表达时，必须分段列内力表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷载的起点和终点为界，例如，图4-27所示的梁，B、C都是分界点，该梁就应分三段来列内力表达式。

图4-27　分三段来列内力表达式

图4-28（a）为承受集中力偶之简支梁，现画该梁的内力图并讨论弯矩图有何特点。

图4-28　承受集中力偶之简支梁

由梁的整体平衡求得反力FRA＝FRB＝（方向如图所示）。

剪力表达式为

该式适用于全梁，剪力图为如图4-28（b）所示的水平线。

由于C处有集中力偶，弯矩表达式应分段列出：

两表达式均为x的一次函数，弯矩图为二段斜直线如图4-28（c）所示。

由图4-28（c）看到，在集中力偶作用处（C处）弯矩图不连续。C截面左侧的弯矩值为，C截面右侧的弯矩值为，弯矩图经过C发生了“突变”，且突变的绝对值为＝Me。此情况也是普遍现象。由此可得结论：在集中力偶作用处弯矩图发生突变，突变值等于该力偶的力偶矩。因此，当谈集中力偶作用处的弯矩时，也不能笼统地谈，必须指明是集中力偶的左侧截面还是集中力偶的右侧截面，两者也是不同的。