轴向拉伸和压缩杆的变形能和比能分析

设受拉杆件上端固定[图2-27（a）]，作用于下端的拉力F缓慢地由零增加到F，在应力小于比例极限的范围内，拉力F与伸长Δl的关系是一条斜直线，如图2-27（b）所示，在逐渐加力的过程中，当拉力为F1时，杆件的伸长为Δl1。如果再增加一个dF1，杆件相应的变形增量为d（Δl1）。于是，已经作用于杆件上的F1因位移d（Δl1）而做功，且所做的功为

图2-27　受拉杆件变形能和比能

容易看出dW等于图2-27（b）中画阴影线部分的微分面积。把拉力F看作一系列dF1的积累，则拉力F所做的总功W应为上述微分面积的总和。即W等于F－Δl曲线下面的面积。因为在弹性范围内，F－Δl曲线为一斜直线，故有

根据功能原理，外力F所做的功在数值上等于杆件内部储存的变形能。因此拉杆的弹性变形能U为

由胡克定律Δl＝及FN＝F，弹性变形能U应为

变形能的单位和外力功的单位相同，都是焦耳（J）。

若杆的轴力FN，截面面积A和材料弹性模量E分段为常数或连续变化，则变形能的计算式（2-17）可写成下式

若对轴向拉伸（或压缩）杆取单元体表示[图2-27（c）]，在线弹性范围内，其应力-应变关系如图2-27（d）所示，则单位体积所储存的变形能为

u称为比能或能密度，其单位是焦耳/米3，记为J/m3。

由式（2-20）可求出拉伸（或压缩）杆的变形能

式中　V——构件的体积。(https://www.xing528.com)

由U、u的计算式可以看出，变形能是荷载的二次函数，在计算变形能时不满足叠加原理。

利用功能原理可导出的一系列的方法，称能量法，应用能量法可计算任意结构、任意截面、任意点、任意方向的位移。

若结构上只有一个做功力，且仅求力作用点沿力作用方向的位移，可由式（2-17）直接求得。

【例2-9】　简易起重机如图2-28所示。BD杆为无缝钢管，外径90mm，壁厚2.5mm，杆长l＝3m，弹性模量E＝210GPa。BC是两条横截面面积为171.82mm2的钢索，弹性模量E1＝177GPa，荷载F＝30kN。若不考虑立柱的变形，试求B点的垂直位移。

图2-28　简易起重机

解：从三角形BCD中解出BC和CD的长度分别为

算出BC和BD两杆的横截面面积分别为

由BD杆的平衡条件，求得钢索BC的拉力为

把简易起重机看作是由BC和BD两杆组成的简单弹性杆系，当荷载F从零开始缓慢地作用于杆系上时，F与B点垂直位移δ的关系是线性的，F所做的功为

F所做的功在数值上应等于杆系的变形能，亦即等于BC和BD两杆变形能的总和。故

由此求得