胡克定律及钢杆轴力分析与计算方法

在2.4节中指出：当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比，这就是胡克定律，即

将σ＝FN/A和ε＝Δl/l代入上式，得

这是胡克定律的另一种表达式。它表示：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长Δl与轴力FN和杆件原长l成正比，与横截面面积A成反比。以上结果同样可以用于轴向压缩的情况。

从式（2-14）还可以看出，对于长度相同，受力相等的杆件，EA越大则变形Δl越小，所以EA称为杆件的抗拉（或抗压）刚度。

关于式（2-14）的几点说明：

（1）当杆件的轴力FN、横截面面积A和弹性模量E沿杆轴线分段为常数时，则在每一段上应用式（2-14），然后叠加。即

（2）当杆件的轴力FN（x）或横截面面积A（x）沿轴线是连续变化时，可先在微段dx上应用式（2-14），然后积分。即

【例2-7】　图2-25（a）所示钢杆，已知F1＝50kN，F2＝20kN，l1＝120mm，l2＝l3＝100mm，横截面面积A1－1＝A2－2＝500mm2，A3－3＝250mm2，材料的弹性模量E＝200GPa。求B截面的水平位移和杆内最大纵向线应变。

图2-25　某钢杆水平位移和纵向线应变

解：（1）计算各段轴力，并画出轴力图。用截面法，可分别求出杆件各段的轴力为

其轴力图如图2-25（b）所示。

（2）计算B截面的水平位移。B截面水平位移是由各段纵向变形引起的，因此AB杆的纵向变形量即B截面的水平位移。由图2-25可知，杆件各段的轴力及横截面面积分段为常数，故此用式（2-15）可得

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所以B截面水平位移是杆件各段纵向变形的总和，即

（3）计算杆内最大纵向线应变。由于杆件内各段轴力、横截面面积分段为常数，故各段的变形互不相同，其纵向应变也不相同。各段的纵向应变分别为

因此，杆内最大纵向线应变为

【例2-8】　等直杆AB在集中力F和自重作用下，如图2-26（a）所示，已知杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，材料单位体积重量为γ，试求等直杆AB内最大正应力和总伸长量。

图2-26　例2-8图

解：（1）计算杆内任一横截面的轴力，并画出轴力图杆件在自重和F的作用下，各截面的轴力是变化的。为此，在距下端为x的任一截面m－m上假想地截开，并取下半部分为研究对象，如图2-26（b）所示，由平衡方程可得

由此可见，FN（x）是x的线性函数，其轴力图为一斜直线[图2-26（c）]，最大轴力发生在固定端，其值为

最大正应力发生在最大轴力所在截面，其值为

（2）计算总伸长量

由于轴力沿杆轴线是连续变化的，因此，应用胡克定律式（2-16），可得总伸长量为