深入探讨李雅普诺夫稳定性理论

李雅普诺夫第二方法用李雅普诺夫函数V（x）=x^TPx判断系统在原点x=0处的平衡状态有以下4个定理。

定理1 设系统的状态方程为，其平衡状态为f（0，t）=0。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x，t），并且满足V（x，t）是正定的、是负定的，则系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。

又当‖x‖→∞时，有V（x，t）→∞，则在原点处平衡状态是在大范围内一致渐近稳定的。

定理2 设系统的状态方程为，其平衡状态为f（0，t）=0。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x，t），并且满足V（x，t）是正定的、是半负定的、在x≠0时不恒等于0，则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。

定理3 设系统的状态方程为，其平衡状态为f（0，t）=0。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x，t），若V（x，t）是正定的、是半负定的，则系统在原点处的平衡状态是一致稳定的。

定理4 设系统的状态方程为，其平衡状态为f（0，t）=0。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x，t）若V（x，t）是正定的、也是正定的，则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。

为方便计算，作者编制了一个计算系统李雅普诺夫函数的函数lyaeq.m。请看示例。

【例14-31】 已知线性定常连续系统动态方程为，试求解李雅普诺夫方程，并判定系统的渐近稳定性。

解：给出以下调用自编函数lyaeq.m的MATLAB程序求解。

clear；A=[-12；3-4]；Q=[10；01]；key=1；(www.xing528.com)

[FQ，P，Vx]=lyaeq（key，A，Q）；

程序运行后得到（1）系统特征根λ₁=0.3723>0、λ₂=-5.3723<0，故系统原点的平衡状态是不稳定的；（2）矩阵A非奇异，坐标原点是系统唯一的平衡状态；（3）李雅普诺夫方程的解；（4）矩阵A的各主子行列式detP11=-1.15<0与detP=-0.13<0，矩阵A是负定矩阵，故系统在平衡点处不是渐近稳定的；（5）李雅普诺夫函数；（6）。

【例14-32】 已知线性定常离散系统动态方程为，试求解李雅普诺夫方程，并判定系统的渐近稳定性。

解：给出以下调用自编函数lyaeq.m的MATLAB程序求解。

clear；A=[140；-3-2-3；200]；

Q=[100；010；001]；key=2；

[FQ，P，Vx]=lyaeq（key，A，Q）；

程序运行后得到（1）系统特征根λ_1.2=0.5±j3.4278、λ₃=-2均在单位圆外，故系统原点的平衡状态是不稳定的；（2）矩阵A非奇异，坐标原点是系统唯一的平衡状态；（3）李雅普诺夫方程的解；（4）矩阵A的各主子行列式detP11=-0.0985<0与detP=-0.0034<0，矩阵A是负定矩阵，故系统在平衡点处不是渐近稳定的；（5）；（6）李雅普诺夫函数V（x）=x^TPx。