系统状态降维观测器的设计原则及应用

时间：2023-06-18 理论教育版权反馈

【摘要】：当观测器的维数等于原系统状态向量的维数时叫做全维观测器。图14-9 用降维观测器实现状态反馈的系统模型原理图由图14-9可得降维状态观测器的动态方程为式中，观测器输出反馈阵H为（n-q）×q维矩阵，观测器的输出就是x1。降维状态观测器的极点由特征方程或者式决定。由式或式算出矩阵H后，状态观测器式即可解得。4）给出以下调用自编函数stabak.m的程序解算系统状态观测器的增益矩阵K。

系统状态降维观测器的设计原则及应用

当观测器的维数等于原系统状态向量的维数时叫做全维观测器。所谓状态降维观测器，就是观测器维数在低于原系统状态向量维数时，也能对原系统状态做出最佳估计的观测器。对于一个n维的可观测系统：

式中，为n维向量，u为p维向量，为q维向量，、、分别为（n×n）维、（n×p）维、（q×n）维矩阵。当满行秩（即）时，可以定义一种非奇异线性变换

式中

请注意，式中D是使Q非奇异的（n-q）×n维任意矩阵。

系统经非奇异线性变换后的系统{A，B，C}：

式中

即为把x分解为x₁与x₂两部分，其中x₂是q个直接由输出测得的状态变量。变换后系统中、、，由恒等式

对比这两式可得 C=[0 E]

故有

式中，x₁为（n-q）维列向量；x₂为q维列向量；A₁₁为（n-q）×（n-q）维矩阵；A₁₂为（n-q）×q维矩阵；A₂₁为q×（n-q）维矩阵；A₂₂为q×q维矩阵；B₁为（n-q）×p维矩阵；B₂为q×p维矩阵。

因为系统可观测，经线性坐标变换后的系统{A，B，C}仍为可观测系统。

由式（14-7）可以看出，通过直接测量输出y，已可得到系统的部分状态x₂，现在只要设计出能估计状态x₁的（n-q）维观测器，它就是原系统{A，B，C}的降维观测器了。这个（n-q）维观测器通常称为龙伯格观测器。

考虑y=x₂、并计及式（14-7），式（14-6）可以改写成如下形式：

令v=A₁₂y+B₁u、

式（14-8）可写为

式（14-9）是一个（n-q）维子系统动态方程，第一式是状态方程，第二式是输出方程。z是该子系统的q维输出向量，x₁是（n-q）维状态变量，v是（n-q）维输入向量，A₁₁是（n-q）×（n-q）维状态矩阵，A₂₁是q×（n-q）维输出矩阵。

与构成全维观测器的方法相同，构成带降维状态观测器的（n-q）维子系统图如图14-9所示。

图14-9 用降维观测器实现状态反馈的系统模型原理图

由图14-9可得降维状态观测器（龙伯格观测器）的动态方程为

式中，观测器输出反馈阵H为（n-q）×q维矩阵，观测器的输出就是x₁。

考虑v=（A₁₂y+B₁u）、，式（14-10）所示的降维观测器可写成

式中，（A₁₁-HA₂₁）为系统降维状态观测器矩阵。降维状态观测器的极点由特征方程

或者式

决定。式中，E为单位矩阵。若是给定降维状态观测器的极点，则可由式（14-12）或式（14-13）解算出观测器输出反馈矩阵H。

还需指出，式（14-11）中是不能直接量测到的，为避免应用，特作如下变量变换：

所以降阶观测器为

这样，系统{A，B，C}的状态估计则按下式求得

自动控制理论中已经说明，只要子系统（A₁₁，A₂₁）完全能观测，H就一定存在。由式（14-12）或式（14-13）算出矩阵H后，状态观测器式（14-15）即可解得。

若要绘制带降维观测器的系统模型图，还需要将变换回到状态空间，于是又有

式中，、。为方便计算，作者编制了计算降维状态估计器的函数reduest.m。请看示例。

【例14-29】已知系统动态方程、y=[001]x。

1）计算系统的单位阶跃响应；2）计算系统可控标准型动态方程，并验证线性变换传递函数的不变性；3）绘制可控标准型系统仿真模型，并对其进行单位阶跃响应仿真；4）判别系统可控性，并求状态反馈增益矩阵K，要求系统闭环极点为λ₁=-2、λ_2.3=-1±j；5）要求系统闭环极点不变，求系统状态观测器的增益矩阵K_h；6）判别系统的可观性，并设计状态观测器；7）绘制带状态观测器及其反馈增益矩阵K_h的可控标准型系统仿真模型，并对其进行单位阶跃响应仿真；8）计算系统降维状态观测器，要求系统闭环极点为λ_1.2=-3±j3；9）绘制带降维状态观测器及其反馈增益矩阵K_h的可控标准型系统仿真模型，并进行仿真。

解：1）求可控标准型系统空间动态方程。

clear；A1=[-0.40-0.01；100；-1.49.8-0.02]；

B1=[6.3；0；9.8]；C1=[001]；D=0；

[P，A，B，C]=consta（A1，B1，C1）；

程序运行表明，原系统与可控标准型系统都是可控的，计算得到可控标准型

给出以下调用自编函数tran01.m的程序解算可控标准型系统对应的传递函数矩阵G（s）。

clear；syms s t；A=[010；001；-0.09800.0060-0.4200]；

B=[0；0；1]；C=[61.74-4.99.8]；D=0；[invsea，G]=tran01（A，B，C，D）；

程序运行后得到传递函数矩阵。

2）计算原系统的单位阶跃响应。

clear；A=[-0.40-0.01；100；-1.49.8-0.02]；B=[6.3；0；9.8]；C=[001]；D=0；

sys=ss（A，B，C，D）；t=0：0.1：120；step（sys，t），grid；

程序运行后绘制单位阶跃响应，如图14-10所示，这是一条发散振荡曲线，系统不能工作。还可调用自编函数tran01.m解算原系统的传递函数矩阵G（s），与可控标准型系统的一样。

3）绘制可控标准型系统仿真模型，如图14-11所示，并对其进行单位阶跃响应仿真。

图14-10 原系统单位阶跃响应曲线

图14-11 系统可控标准型仿真模型sx2L1429.mdl

用系统可控标准型仿真模型仿真绘制单位阶跃响应曲线。

clear；[A，B，C，D]=linmod2（sx2L1429）；

sys=ss（A，B，C，D）；t=0：0.1：120；step（sys，t），grid；

程序运行后得到系统可控标准型模型单位阶跃响应曲线仍如图14-10所示，与原系统的单位阶跃响应曲线完全一样。

4）给出以下调用自编函数stabak.m的程序解算系统状态观测器的增益矩阵K。

clear；A=[010；001；-0.09800.0060-0.4200]；

B=[0；0；1]；C=[61.74-4.99.8]；D=0；P=[-2-1+j-1-j]；

key=1；[K]=stabak（key，A，B，C，D，P）；

程序运行后表明，系统是可控的，系统可实现按题意要求的闭环极点配置；计算得的估计系统状态观测器的增益矩阵为K=[3.90206.0063.58]。

5）绘制带状态反馈增益矩阵K的可控标准型系统仿真模型，如图14-12所示，并对其进行单位阶跃响应仿真。

图14-12 带状态反馈增益矩阵K的可控标准型系统仿真模型sx2L1429a.mdl

用系统仿真模型sx2L1429a.m绘制单位阶跃响应曲线。

clear；[A，B，C，D]=linmod2（sx2L1429a）；

sys=ss（A，B，C，D）；step（sys），grid；

[y，t]=step（sys）；perf（2，y，t）；

程序运行后得到可控标准型模型带状态反馈增益矩阵K后的系统单位阶跃响应曲线，如图14-13所示，说明系统不仅稳定，而且性能指标优良，σ%=2.2893%。

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图14-13 模型sx2L1429a.mdl的单位阶跃响应曲线

6）给出以下调用自编函数staest.m的程序解算系统的可观性并设计状态观测器。

clear；A=[010；001；-0.09800.0060-0.4200]；

B=[0；0；1]；C=[61.74-4.99.8]；D=0；

P=[-2-1+j-1-j]；[CO]=contro（A，B，C，D）；

[K，H，AHC]=staest（A，B，C，D，P）；

计算结果表明，系统既可控也可观，所以存在状态观测器。系统的状态观测器为

7）绘制带状态反馈增益矩阵K与状态观测器的系统模型sx2L1429b.mdl，如图14-14所示，并仿真。

用带状态反馈增益矩阵K与状态观测器的系统模型sx2L1429b.mdl绘制单位阶跃响应。clear；[A，B，C，D]=linmod2（sx2L1429b）；sys=ss（A，B，C，D）；step（sys），grid；[y，t]=step（sys）；perf（2，y，t）；

程序运行后得到带状态反馈增益矩阵K与状态观测器的系统单位阶跃响应曲线与图14-13相差无几，说明系统不仅稳定，而且性能指标优良，σ%=2.2197%。

图14-14 带状态观测器与状态观测器的状态反馈增益矩阵K的系统模型sx2L1429b.mdl

8）设计降维状态观测器。

①选择任意矩阵D构造非奇异线性变换矩阵Q：

②根据系统参数，设输出反馈矩阵H，并用以下MATLAB程序计

算det[sE-（A₁₁-HA₂₁）]，式中包含输出反馈矩阵元素h₁与h₂。

clear；syms h1 h2 s；

A1=[010；001；-0.0980.006-0.42]；B1=[0；0；1]；

C1=[61.74-4.99.8]；H=[h1 h2].；n=length（A1）；E=eye（n-1）；

Q=[100；010；61.74-4.99.8]；Q1=inv（Q）；A=Q∗A1∗Q1；A11=[A（1：2，1：2）]；

A21=[A（3，1：2）]；eq=collect（det（s∗E-（A11-H∗A21）），s）；eqq=vpa（eq，4），

程序运行后得到

eqq=s^2+（55.84∗h1-.5000+57.29∗h2）∗s-388.9∗h1+6.300+55.84∗h2

③根据系统降维观测器的极点满足特征方程λE-（A₁₁-HA₂₁）=0，即

det[sE-（A₁₁-HA₂₁）]=（s+3-j3）（s+3+j3）=s²+6s+18，运行以下语句

clear；syms s；

r=expand（（s+3-3∗j）∗（s+3+3∗j）），

语句运行后得到

r=s^2+6∗s+18

④对比以上两式的右端，即可用以下MATLAB语句求出：

clear；syms h1 h2；

[h1，h2]=solve（55.84∗h1-.5+57.29∗h2=6，-388.9∗h1+6.3+55.84∗h2=18，h1，h2）；

h11=vpa（h1，4），h21=vpa（h2，4），

程序运行后得到。

⑤给出以下调用自编函数reduest.m的程序解算系统可观性并设计降维状态观测器。

clear；A1=[010；001；-0.0980.006-0.42]；B1=[0；0；1]；

C1=[61.74-4.99.8]；D1=0；

Q=[100；010；61.74-4.99.8]；；H=[-0.01210.1253].；

[AHAW，BHBU，AHAY]=reduest（A1，B1，C1，D1，Q，H）；

程序运行后得到降维状态观测器动态方程为

⑥将变换回到状态空间，计算。、、用程序计算。

clear；Q=[100；010；61.74-4.99.8]；

n=size（Q，1）；E=eye（n-1）；R=inv（Q）∗[E；00]，

H=[-0.0121；0.1253]；S=inv（Q）∗[H；1]，

程序运行后得到、，那么

9）绘制带状态反馈增益矩阵K与其降维状态观测器的系统模型sx2L1429c.mdl，如图14-15所示，并对其进行仿真。

图14-15 带降维状态观测器与其状态反馈增益矩阵K的系统模型sx2L1429c.mdl

用带状态反馈增益矩阵K与其降维状态观测器的系统模型sx2L1429c.mdl绘制单位阶跃响应曲线。

clear；[A，B，C，D]=linmod2（sx2L1429c）；sys=ss（A，B，C，D）；

step（sys），grid；[y，t]=step（sys）；perf（2，y，t）；

程序运行后得到带降维状态观测器与其状态反馈增益矩阵K的系统单位阶跃响应曲线与图14-13也相差无几。说明系统不仅稳定，而且性能指标优良，σ%=1.9287%。

本题运算说明：①基于状态空间模型的极点配置不需要附加校正装置，是改变系统性能指标简单可行的重要技术措施。②全维状态观测器与降维状态观测器对系统的响应不起什么作用，其主要功能是观测。③系统模型sx2L1429a.mdl、sx2L1429b.mdl、sx2L1429c.mdl三者阶跃响应曲线的特征、形状都与图14-13基本相同，响应指标数据也非常接近，都使原发散振荡的不稳定系统变成性能指标优良的稳定系统。④用模型图绘制阶跃响应曲线的程序特别简单方便。

【例14-30】已知系统动态方程的矩阵、y=[0 0 1]x。对系统设计降维状态观测器，使得系统的闭环极点为λ₁=-3、λ₂=-4。