线性系统的可观性分析

1.线性离散系统的完全可观性

认真复习并理解系统完全可观测的概念。

系统完全可观测的条件为与rank（OB₁）=n。可以用MATLAB的求可观性矩阵函数obsv（）来计算矩阵OB。函数obsv（）的调用格式为

OB=obsv（A，C）

其中，输入参数A即为离散系统的系统矩阵F或者连续系统的系统矩阵A，输入参数C即为离散系统的观测矩阵或者连续系统的观测矩阵，函数返回的就是系统可观性矩阵OB。可见函数obsv（）既适用于离散系统，也适用于连续系统。

为方便计算，作者编制了调用系统函数obsv.m确定系统完全可观测性的函数obser.m。请看示例。

【例14-21】 已知离散系统方程，式中矩阵、、C=[11]、D=0。1）试用自编函数contro.m判断系统可控性；2）试用自

编函数obser.m判断系统可观性。

解：给出以下调用自编函数contro.m与obser.m的程序求解。

clear；A=[11.7183；02.7183]；

B=[0.7183；1.7183]；C=[11]；D=0；

[CO]=contro（A，B，C，D）；

[OB]=obser（A，B，C，D）；

计算结果表明系统既是可控的也是可观的。

2.连续系统的完全可观性

【例14-22】 试判别以下线性系统的可控性及可观（测）性。系统动态方程为；2）。

解：1）给出以下调用自编函数contro.m与obser.m的程序求解。

clear；A=[132；042；001]；B=[01；00；10]；C=[100；001]；D=[0]；

[CO]=contro（A，B，C，D）；

[OB]=obser（A，B，C，D）；

程序运行结果表明，本系统既可控也可观。

2）再给出以下调用自编函数contro.m与obser.m的程序求解。

clear；A=[10-1；0-21；302]；B=[2；-1；1]；C=[001；100]；D=[0]；

[CO]=contro（A，B，C，D）；[OB]=obser（A，B，C，D）；

计算结果表明系统是可控但是不可观的。

3.连续系统的完全可观标准型

对于单输出系统{A，B，c，d}，若其状态矩阵与输出矩阵有如下的标准形式

则该系统一定可观测，而矩阵对（A，c）被叫做可观标准型。

为方便计算，作者编制了函数obssta.m确定系统可观标准型。

【例14-23】 试对以下系统判断其可观性，再将系统动态方程化为可观标准型并求其变换矩阵。系统动态方程为

解：1）给出以下调用自编函数contro.m、obser.m与obssta.m的程序求解。

clear；A=[-22-1；0-22；1-40]；B=[0；1；0]；C=[011]；D=[0]；

[CO]=contro（A，B，C，D）；[OB]=obser（A，B，C，D）；

[M，A1，B1，C1]=obssta（A，B，C，D）；

程序运行后得到转换前系统可控也可观，转换后系统也可观，带可观标准型的动态方程为，变换矩阵为。

2）也给出以下调用自编函数contro.m、obser.m与obssta.m的程序求解。

clear；A=[2-1-1；0-10；021]；B=[7；2；1]；C=[110]；D=[0]；

[CO]=contro（A，B，C，D）；[OB]=obser（A，B，C，D）；

[M，A1，B1，C1]=obssta（A，B，C，D）；

程序运行后得到转换前系统可控也可观，转换后系统也可观，带可观标准型的动态方程为，变换矩阵为。(www.xing528.com)

3）还给出以下调用自编函数contro.m、obser.m与obssta.m的程序求解。

clear；A=[32；1-1]；B=[1；2]；C=[11]；D=[0]；

[CO]=contro（A，B，C，D）；[OB]=obser（A，B，C，D）；

[M，A1，B1，C1]=obssta（A，B，C，D）；

程序运行后得到转换前系统可控也可观，转换后系统也可观，带可观标准型的动态方程为，变换矩阵为。

4）再给出以下调用自编函数contro.m、obser.m与obssta.m的程序求解。

clear；A=[-100；0-20；00-3]；B=[2；3；4]；C=[1-12]；D=[0]；

[CO]=contro（A，B，C，D）；[OB]=obser（A，B，C，D）；

[M，A1，B1，C1]=obssta（A，B，C，D）；

程序运行后得到转换前系统可控也可观，转换后系统也可观，带可观标准型的动态方程为，变换矩阵为。

【例14-24】 续【例14-2】，试确定图14-2所示系统的可控性与可观性。

解：1）给出调用系统函数linmod2.m与自编函数contro.m、obser.m的程序解算。

clear；[A，B，C，D]=linmod2（sx2L1402a），

[CO]=contro（A，B，C，D）；[OB]=obser（A，B，C，D）；

程序运行后得到动态方程与对应的系统不可控但可观。

2）也给出调用系统函数linmod2.m与自编函数contro.m、obser.m的程序解算。

clear；[A，B，C，D]=linmod2（sx2L1402b），

[CO]=contro（A，B，C，D）；[OB]=obser（A，B，C，D）；

程序运行后得到系统动态方程与对应的系统是既可控也可观。

4.线性定常系统的实现问题

线性系统的实现问题是给定系统的传递函数G（s），求系统A、B、C、D阵的问题。

对于SISO线性定常系统，如果其传递函数是可实现的，则有任意维数的动态方程与之对应。其动态方程维数最小的实现称为最小实现，最小实现的维数等于传递函数的阶数。

以下介绍SISO系统可控标准型与可观标准型实现的示例。

【例14-25】 已知系统传递函数1）；2）；3），试求系统可控性及可观性的动态方程实现。

解：1）对第1个系统传递函数，可直接写出系统的可控标准型：

系统的可观标准型为

对于可控标准型可用自编函数ssto2.m验证以上计算是否正确。

clear；A=[010；001；-6-11-6]；B=[0；0；1]；C=[541]；D=0；

key=1；G=ssto2（key，A，B，C，D）；

对于可观标准型，读者可按可控标准型的程序自行验算。

clear；A=[00-6；10-11；01-6]；B=[5；4；1]；C=[001]；D=0；

key=1；G=ssto2（key，A，B，C，D）；

2）对第2个系统传递函数，可直接写出系统的可控标准型：

系统的可观（测）标准型为

读者可自行验证以上计算是否正确。

3）对第3个系统传递函数，可直接写出系统的可控标准型：

系统的可观（测）标准型为

读者可自行验证以上计算是正确的。