建立状态空间表达式的方法及意义

有三种方法建立控制系统状态空间表达式：一是直接根据控制系统工作原理建立相应的微分方程或差分方程，再将其整理、规范化而得；二是由控制系统结构框图建立系统状态空间表达式；三是由已知系统的某种数学模型转化而得。请看示例。

图14-1 网络电路

【例14-1】 已知图14-1所示系统元件参数，输入为u₁（t）与u₂（t），输出为y（t），试列写图示网络的状态空间表达式。解：选择电感电流与电容电压作为状态变量，即x₁=i₁、x₂=i₂、x₃=u_c。根据基尔霍夫第一定律、第二定律，有

将状态变量代入并整理得到状态空间表达式

写成矩阵形式

式中

【例14-2】 试求图14-2所示系统的动态方程，并求其对应的传递函数。

图14-2 模型sx2L1402a.mdl和模型sx2L1402b.mdl

解：1）给出调用系统函数linmod2.m与自编函数ssto2.m的程序解算。

clear；[A，B，C，D]=linmod2（sx2L1402a），

key=1；G=ssto2（key，A，B，C，D）；

程序运行后得到动态方程与传递函数。

2）也给出调用系统函数linmod2.m与自编函数ssto2.m的程序解算。

clear；[A，B，C，D]=linmod2（sx2L1402b），

key=1；G=ssto2（key，A，B，C，D）；

程序运行后得到系统动态方程与对应的传递函数。

【例14-3】 已知连续系统零极点增益模型、系统微分方程为，求系统的状态空间表达式。

解：1）给出以下调用自编函数zpkto2.m的程序实现，并用自编函数ssto2.m的程序来验证。

clear；k=4；z=-2；p=[-1，-3，-4]；key=2；

G=zpkto2（key，z，p，k）；(www.xing528.com)

程序运行后得到系统空间表达式为。可用以下程序验证计算是否正确。

clear；A=[-110；0-31；00-4]；B=[0；0；4]；C=[110]；

D=0；key=2；G=ssto2（key，A，B，C，D）；

2）求系统微分方程为对应的状态空间表达式。此微分方程式含有输入函数导数项，其一般表达式[10]为

按参考文献[10]选取系统状态变量并有相关公式

①按式（14-1）～式（14-5）得到a₁=5、a₂=4、a₃=7、b₀=0、b₁=1、b₂=3、b₃=2。运行以下程序计算H=[h₁；h₂；h₃]。

clear；a1=5；a2=4；a3=7；b0=0；b1=1；b2=3；b3=2；

h1=b1-a1∗b0，h2=（b2-a2∗b0）-a1∗h1，

h3=（b3-a3∗b0）-a2∗h1-a1∗h2，

程序运行后得到H=[h₁；h₂；h₃]=[1；-2；8]。再选取状态变量x₁=y、，则有a₁x₃+8u=-7x₁-4x₂-5x₃+8u。

由此写出状态方程。运行以下程序求传递函数矩阵。

clear；A=[010；001；-7-4-5]；B=[1；-2；8]；C=[100]；

D=0；[invsea，G]=tran01（A，B，C，D）；

程序运行后得到微分方程对应的系统传递函数为。

②按参考文献[12]公式得到a₁=5、a₂=4、a₃=7、b₀=0、b₁=1、b₂=3、b₃=2。选取，那么，则即

自动控制原理中已经学过，对于一个系统，尽管其状态空间表达式不是唯一的，但其传递函数矩阵不变。可用以下程序验证。

clear；A=[010；001；-7-4-5]；B=[0；0；1]；C=[231]；

D=0；[invsea，G]=tran01（A，B，C，D）；

程序运行后得到传递函数矩阵不变，说明以上计算正确。