MATLAB实现离散系统根轨迹分析技巧

与连续系统一样，离散系统也可以绘制根轨迹图并用来分析参数变化对系统性能的响应。请看示例。

【例11-19】 闭环离散系统结构如图11-5所示，其前向通道的零阶保持器，连续部分传递函数为，采样开关的采样周期T=1s，试绘制0≤K<∞的根轨迹图并分析取不同的K值对应在根轨迹上不同位置时系统的稳定性。

解：1）写带K值的。

2）求展开G（z）的分子与分母表达式。

clear；syms z K n d；n=（.368∗z+.264）∗K，d=z^2-1.37∗z+.368，

程序运行结果

n=（46/125∗z+33/125）∗K

d=z^2-137/100∗z+46/125

3）绘制0≤K<∞时的根轨迹图

clear；Ts=[]；G=tf（[46/12533/125]，[1-137/10046/125]，Ts）；rlocus（G），

程序运行后绘制系统0≤K<∞时的根轨迹图，如图11-11所示。再执行以下程序，一旦按Enter键后，在根轨迹图窗口上有纵横两条坐标线，其交点随鼠标而移动。clear；Ts=1；G=tf（[46/12533/125]，[1-137/10046/125]，Ts）；rlocus（G），[k，poles]=rlocfind（G），w=imag（poles（1）），

①当鼠标指在根轨迹与正横坐标交点（尽力准确）时，根轨迹如图11-11所示。其数据是：

Select a point in the graphics window

selected_point=0.6315-0.0047i

k=0.1982

poles=0.6649

0.6322

w=0

图11-11 选点在根轨迹与正横坐标的交点

按以上操作多次执行以上程序，请读者特别关注：①以上程序中函数tf（）的输入参数Ts表示系统采样周期，当有Ts时，在根轨迹图中同时绘制单位圆，当Ts缺省时，在根轨迹图中不绘制单位圆。②与选择点相对应的开环增益k、相关极点poles及其对应角频率ω，用来观察随ω的增加，根轨迹曲线在复平面画出的图像。③根轨迹曲线与单位圆的相对位置关系。当根轨迹处于单位圆内或根轨迹与单位圆相交或根轨迹处于单位圆外时，其对应的开环增益大小、系统闭环稳定性能等。

②当鼠标指在根轨迹第1象限与单位圆的交点时，根轨迹如图11-12所示。其数据是：

Select a point in the graphics window

selected_point=0.2336+0.9628i

k=2.4057

poles=0.2424+0.9718i

0.2424-0.9718i

w=0.9718

由数据可知，此时开环增益k=2.4057，正好是第1象限根轨迹与单位圆的交点，系统闭环临界稳定（参见例11-14）；根轨迹在单位圆内时，系统闭环稳定；根轨迹在单位圆外时，系统闭环就会不稳定。

③将鼠标指在根轨迹与纵坐标的交点（尽力准确）时，根轨迹如图11-13所示。其数据是：

Select a point in the graphics window(www.xing528.com)

selected_point=0.0012+1.1599i

k=3.7125

poles=0.0019+1.1611i

0.0019-1.1611i

w=1.1611

图11-12 选点在第1象限根轨迹与单位圆的交点上

图11-13 选点在根轨迹与纵坐标的交点

由k=3.7125值可知，系统闭环不稳定。

④当鼠标指在根轨迹的第2象限时，根轨迹如图11-14所示。其数据是：

Select a point in the graphics window

selected_point=-1.7737+0.8711i

k=13.3485

poles=-1.7711+0.8690i

-1.7711-0.8690i

w=0.8690

由k=13.3485值可知，系统闭环不稳定。

⑤当鼠标指在根轨迹与负横坐标的交点（尽力准确）时，根轨迹如图11-15所示。其数据是：

Select a point in the graphics window

selected_point=-2.0889-0.0047i

k=15.0447

poles=-2.0864-2.0800

w=0

图11-14 选点在第2象限根轨迹上

图11-15 选点在根轨迹与负横坐标的交点

由k=15.0447值可知，系统闭环不稳定。