非线性系统的自振分析

根据线性理论的Nyquist稳定判据推广应用于非线性系统，当系统线性部分的开环幅相特性曲线G（jω）不包围负倒描述曲线-1/N（X）时，非线性系统就稳定。图10-2 a所示的是非线性系统稳定时的G（jω）与-1/N（X）相互位置关系。图10-2 b所示的则是非线性系统不稳定时的情况。

若满足公式，则非线性系统存在一组参数（X，ω），系统处于等幅振荡，称之为在一次近似下的周期运动。如果在同一复平面上做出G（jω）与-1/N（X）曲线，两曲线相交，则式成立，系统存在周期运动。而参数X（振荡振幅）及ω（振荡角频率）就是交点处G（jω）与-1/N（X）的自变量。

若两曲线如图10-3所示有两个交点，则系统存在两个周期运动状态，这两个状态不仅参数（X，ω）不相同，而且运动性质也不同。当系统周期运动的振幅稍有变化后，系统本身是否有能力使振幅重新恢复原值？如果能够恢复，则称系统的周期运动是具有常驻性的，否则，周期运动不具有常驻性。只有常驻的周期运动才叫做自振，而非常驻的周期运动，实际上不可能长时间存在，一经扰动，就将转变为其他运动状态，或收敛、或发散，或者转移到另一个自振状态。

在图10-3中，观察M₁点的周期运动。若由于某种原因使振幅X有所减小，降到了A点所对应的数值，则运用上述稳定性判据可知，A点位于G（jω）曲线之外，即此点的-1/N（X）不被G（jω）曲线所包围，则系统处于稳定的运动状态，振幅将进一步减小，直到衰减为零。若M1点的状态受扰，使振幅增大到B点对应的数值，由于B点被G（jω）所包围，运动状态不稳定，振幅将逐步增大，工作点会偏离M₁点越来越远。由此可见，M₁点对应的周期运动是不常驻的，振幅稍有变化，状态即被破坏，不构成系统的自振。

若系统处于M₂点所对应的周期运动，如振幅X偏高，到非线性特性的工作点D，则运用判据可知，闭环系统稳定，振幅下降；相反，若振幅偏低，到工作点C，则闭环系统不稳定，振幅回升。故M₂点对应的周期运动是常驻的，振幅稍有变化仍能恢复，M₂点是系统自振点。

用图解法定量地计算周期运动状态的参数（X，ω），并判断确认其是否为自振点，是用描述函数法分析非线性系统的重要内容。确认自振点时要特别注意在图10-3中自振振幅X增大的方向。(www.xing528.com)

图10-2 非线性系统稳定性分析

图10-3 非线性系统的自振分析