利用留数展开象函数表达式的部分分式

在MATLAB系统中，有专门为求留数而开发的函数命令。先复习抽象的留数概念。

设z₀是函数f（z）的孤立奇点，C是z₀的足够小的邻域内包含z₀点于其内的任何一条正向简单闭曲线，且积分为与C无关的定值，则称为f（z）在z₀点的留数或残数，记作Res[f（z），z₀]，即Res[f（z），z₀]=。

这是根据复变函数理论定义的留数，非常抽象。在微积分中，计算有理分式函数的积分时，讨论过把分式分解成所谓部分分式的方法。在此，再给出部分分式中留数的直观概念。

若n阶多项式A（s）不含有重根，则以下展开称为部分分式展开，即

式中，p₁，p₂，…，p_n称为极点；R₁，R₂，…，R_n称为留数；k（s）称为直接项。

若A（s）含有m重根p_j，那么相应部分则写为

在高等数学中，留数R₁，R₂，…，R_n通常用待定系数法来计算。

在MATLAB中求留数的函数命令为residue（），即residue意为留数（部分分式展开）。其调用格式为

[R，p，k]=residue（B，A）

函数命令输入参量为B与A，B与A是分子多项式B（s）与分母多项式A（s）以降幂排列的多项式系数向量，residue（）函数是对两个多项式的比值计算，计算结果作为函数的输出量，即函数返回留数向量R、极点向量p，直接项返回到向量k。返回极点向量p的元素是从小到大的顺序排列的，留数向量R中元素与p中元素的位置顺序一一对应。

需要说明的是，极点的个数n=length（A）-1=length（R）=length（p）。如果length（B）<length（A），则直接项向量为空；否则length（k）=length（B）-length（A）+1。另外，①MATLAB中函数length（）的功能为计算向量的维数；②向量k中存放的是假分式的有理整式的系数，即对应着从右向左依次为s⁰，s¹，s²，s³等项的系数。

若A（s）含有m重根p_j，即p_j=p_j+1=…=p_j+m-1，函数返回向量仍以极点向量p元素从小到大的顺序排列，而重根部分展开为式，即向量R与p元素的顺序与展开式各项从左到右的顺序一致。请看以下示例。

【例5-9】 将象函数表达式1）；2）；3）；

4）展成部分分式。

解：用以下MATLAB语句计算留数、极点与直接项。

1）。

clear；B=[1000]；A=[13]；[R p k]=residue（B，A），语句执行后得到(www.xing528.com)

R=-27

p=-3

k=1 -3 9

即。在此予以验证，其他题目读者自行验证。

clear；syms s；

[n，d]=numden（s^2-3∗s+9-27/（s+3）），

语句执行后说明部分分式展开正确。

2）。

clear；B=[13]；A=[122]；[R p k]=residue（B，A），

语句执行后得到。

3）。

clear；B=[1-32]；A=[1210]；[R p k]=residue（B，A），

语句执行后得到。

4）。

clear；B=[12]；A=[143]；[R p k]=residue（B，A），

语句执行后得到。