计算函数的Laplace变换

首先计算几个Laplace变换的基本公式。

【例5-1】 求函数f（t）为1）1；2）A·t；3）t²；4）A·e^at的Laplace变换F（s）。

解：1）f（t）=1。

clear；syms s t；F=laplace（1，s），

语句运行后得到函数f（t）=1的Laplace变换为。当读者复习了Laplace反变换后，就会验证变换是否正确。在此仅对此题作验证，其他题读者可自行验证。

clear；syms s t；F=1/s；f=ilaplace（F），

语句运行后说明变换正确。

2）斜坡函数f（t）=A·t。

clear；syms A s t；F=laplace（A∗t），

语句执行后得到函数f（t）=A·t的Laplace变换为F。

3）函数f（t）=t²。

clear；syms s t；F=laplace（t^2），

语句执行后得到函数f（t）=t²的Laplace变换为。

4）指数函数f（t）=A·e^at。

clear；syms A a s t；F=laplace（A∗exp（a∗t）），

语句执行后得到函数f（t）=A·e^at的Laplace变换为。a

【例5-2】 求函数f（t）为1）cosωt；2）e^atsinωt；3）δ（t）；4）A·t²+B·t³的Laplace变换F（s）。

解：1）余弦函数f（t）=cosωt。

clear；syms s t omega

laplace（cos（t∗omega）），

语句执行后得到。

2）函数f（t）=e^atsinωt。

clear；syms s t a omega；

F=laplace（exp（a∗t）∗sin（omega∗t）），

语句执行后得到。

3）单位冲激函数δ（t）。clear；syms s t；f=sym（Dirac（t））；F=laplace（f，t，s），

语句执行后得到F（s）=L[f（t）]=L[δ（t）]=1。

再次提醒读者注意：①在MATLAB中，单位冲激函数δ（t）规定写成Dirac（t），而且第一个字母D必须为大写；②定义符号变量Dirac（t），在函数sym（）的参数引用时两端必须加单引号。单位阶跃函数写成Heaviside（t）的规则同此。

4）函数f（t）=A·t²+B·t³。

clear；syms s t A B；

F=laplace（A∗t^2+B∗t^3），

语句执行后得到，由此可得Laplace变换

的线性性质如下。设F₁（s）=L[f₁（t）]与F₂（s）=L[f₂（t）]，A与B为常数，则有

F（s）=L[A·f₁（t）+B·f₂（t）]=A·F₁（s）+B·F₂（s）

这可以执行以下MATLAB语句来验证。

clear；syms s t A B；(www.xing528.com)

laplace（A∗（sym（f1（t）））+B∗（f2（t））），

必须说明，在MATLAB系统中，字符串“laplace（f（t），t，s）”即为“F（s）”。

【例5-3】 计算Gamma函数及幂函数t^m-1的Laplace变换。

解：1）MATLAB中有很多特殊函数，Gamma函数就是其中之一。积分变换中定义定积分为伽马函数，记为Γ（m），即Γ，m>0。用以下MATLAB语句实现Gamma函数的定义。

clear；syms s t；m=sym（m，positive）；

f=exp（-t）∗t^（m-1）；F=int（f，t，0，inf），

语句运行结果

F=gamma（m）

将t^m-1改为t^m再运行一次以下语句：

clear；syms s t；m=sym（m，positive）；

f=exp（-t）∗t^m；F=int（f，t，0，inf），

语句运行后得到。由上可知，当m为正整数时，有关系式Γ（m+1）=mΓ（m）=m！与关系式Γ（m）=（m-1）！成立。

必须说明：①当m为正整数时的MATLAB实现语句m=sym（m，positive）是必需的，否则不能解算；②阶乘m！=1×2×3×…×m，可用作者自编函数pro.m计算，参见【例1-7】。在MATLAB中有函数命令prod.m计算一个向量或数组所有元素的乘积，这些元素可以不连续，但程序中必须写出全部所有元素，prod（）用来求阶乘时也必须写出全部元素。

2）求幂函数t^m-1的Laplace变换F（s）。

求解幂函数t^m-1的F（s）可以执行以下MATLAB语句：clear；syms s t；m=sym（m，positive）；f=t^（m-1）；F=laplace（f，t，s），

语句执行结果

F=gamma（m）∗s^（-m）

即

t^m-1的F（s）为F（s）=L[t^m-1]=Γ（m）=（m^-1）！

s^msm

【例5-4】 求函数1）f（t）=3sint+2cost；2）f（t）=cos（2t+45°）；

3）f（t）=e^-tu（t）+e^-（t-1）u（t-1）+δ（t-2）的象函数F（s）。

解：1）f（t）=3sint+2cost

elear；syms s t；f=3∗sin（t）+2∗cos（t）；F=laplace（f，t，s）

程序运行后得到。

2）f（t）=cos（2t+45°）

clear；syms s t；f=cos（2∗t+45∗pi/180）；F=laplace（f，t，s），

程序运行后得到。

3）f（t）=e^-tu（t）+e^-（t-1）u（t-1）+δ（t-2）

clear；syms s t；

fl=exp（-t）∗sym（Heaviside（t-0））；

f2=exp（-t+1）∗sym（Heaviside（t-1））；

f3=sym（Dirac（t-2））；

f=f1+f2+f3；F=laplace（f，t，s），

程序运行后得到。