转矩、电流幅值及相角的关系分析

PMSM的电磁转矩是我们最为关心的一个物理量，参考公式3-42，可以得到转矩公式如下

式中的δ是定子电流矢量超前d轴的角度，该角度称为转矩角，又称负载角。一般情况下，电动机控制中常用的电流矢量是在q轴上和第二象限内的。

公式6-13内的电动机转矩包含了两项，前者为永磁转矩——永磁体与定子电流作用的结果，这一部分定子电流仅仅是指i_q。后者为磁阻转矩——由于dq轴的磁路不对称产生的电磁转矩，它与i_q及i_d都成正比例。图6-4中给出了典型的PMSM转矩与转矩角关系曲线，称为矩角特性曲线。图6-4中1为永磁转矩，显然其最大值出现在90°。图6-4中曲线2为磁阻转矩。由于PMSM中的L_d＜L_q，使得在δ＞90°时，磁阻转矩才出现正值。对于传统的电励磁同步电动机来说，磁阻转矩的情况刚好相反。图6-4中曲线3给出了总的转矩，其特点是δ＞90°时出现转矩的最大值。为了得到较大的转矩并运行在较高速度下，PMSM的转矩角一般控制在δ≥90°的范围内。

从图6-4可以看出由于δ的不同，PMSM可以产生不同的转矩。那么可以设想，为了得到相同的转矩，完全可以由不同幅值的定子电流来产生。为此，针对第3章42kW的PMSM进行分析，MATLAB程序如下：

图6-4 典型矩角特性图

运行上述程序后，可以得到图6-5所示的不同电流幅值对应下的PMSM矩角特性曲线。显然，随着电流的增加，产生最大转矩的负载角也略微发生变化。为了产生同一个转矩，确实存在不同的电流幅值及负载角。

图6-5 不同电流下的矩角特性曲线图

下面针对某定子电流幅值下的最大转矩值进行分析。此时式6-13中的电流i_1m不变，转矩仅仅随δ变化，为求T_e极值，令其导数为0，如6-14式

从而可以得到式6-15

上式中的相关系数分别见式6-16和式6-17。

式6-17中的变量ρ为电动机的凸极率，见式6-18所示，对于PMSM，存在ρ≥1。

设置新变量β见式6-19，

β=ρ-1 （6-19）

这样，式6-17可以改写为式6-20。

令式6-15为0，那么可以得到式6-21，

4K₂cos²δ-cosδ-2K₂=0 （6-21）(www.xing528.com)

进而，可以求得

根据前述的分析，式6-22所示的余弦值应该为非正，因此最终得到式6-23。

相应地，有

将式6-23与6-24代入式6-13，可以得到最大转矩为

设置新变量K_f如下

那么K₂可以表示为

首先，可以分析凸极率ρ趋近于1的情况，那么此时β趋近于0。由式6-23可以得出δ₁趋于90°，由式6-25化简可以得到式6-28。该式即为表面贴装式PMSM的转矩公式，因为该电动机中，i_d不产生转矩，所以6-28的结论是显而易见的。

针对凸极PMSM（ρ＞1，亦即β＞0），下面进一步分析最大转矩的特征。对PMSM而言，永磁磁链与L_d一般不会明显变化，因而从式6-25中可以看出，最大转矩与β以及K_f关系密切。

图6-6给出了最大转矩与K_f关系，其中β为参变量。图6-6中四条曲线从下到上分别对应了β=0、β=1、β=2和β=3的情况。当β=0时，转矩与K_f是一种线性关系。

图6-6 最大转矩与K_f关系（β为参变量）

图6-7给出了最大转矩与β关系，其中K_f为参变量。图中7条曲线从下到上分别对应了K_f=0、K_f=0.2、K_f=0.4、K_f=0.6、K_f=0.8、K_f=1.0、K_f=1.2的情况。可以看出，在电动机相电流峰值不变的情况下（即K_f恒定），最大转矩会随着β的增加而增大。这就是说，如果电动机的相电流有限制的话，那么增加电动机的凸极率，可以提高电动机的最大转矩输出能力。另外，图6-7便于对比分析一定幅值、不同相角时的定子电流矢量产生的电动机转矩。由于电流相角不同，那么i_d、i_q均不同，此时电动机的相电感也会随着电流发生变化。利用图6-7则可以非常方便地分析转矩输出能力与β的关系，因为此时的参变量K_f不变。

图6-7 最大转矩与β关系（K_f为参变量）

上述分析中的MATLAB部分程序如下：