基于MATLAB的PMSM数学模型简化

1.三相ABC坐标系中对称电流变换到dq坐标系电流

在MATLAB命令窗口中键入如下命令：

其中st为转子位置电角度，bt为定子A相电流的电角度，对idq进行简化。

simple（idq）

最后在MATLAB中可以得到如下简化形式：

ans=

ima*cos（bt-st）

ima*sin（bt-st）

将此变换结果采用下式描述。

i_d=i_macos （β-θ）

i_q=i_masin（β-θ） （3-62）

从上式中可以看出，恒定的电流矢量变换到转子dq坐标系（速度恒定）后还是一个恒定的旋转电流矢量，其幅值没有变化，只不过在原来的相角中减去dq坐标系的相角。如果电流矢量旋转速度与dq坐标系旋转速度相等，那么式中的相角差（即bt-st）是一个恒定值。此时，电流矢量在dq坐标系中变成了一个恒定的静止的电流矢量，它的两个分量均保持不变。如果可以控制相角差，那么电流的两个分量也就可以控制了。不过这两个电流分量的物理含义需要进一步深入理解。

2.永磁体匝链到定子绕组的永磁磁链变换到dq坐标系

MATLAB中命令如下：

注意，永磁磁链的相位角和转子位置是同一个角，简化fdq后，结果如下所示：

simple（fdq）

ans=

ff

0

简化的最终结果如上式所示。可以看出匝链到定子绕组的正弦波永磁磁场在转子dq坐标系中的描述非常简单。它仅在d轴上有分量，且为一相定子绕组永磁磁链的幅值，q轴上分量为0。上述结果可以用下式描述

3.三相ABC坐标系PMSM数学模型中的电感矩阵变换到dq坐标系(www.xing528.com)

在dq坐标系中，式3-2的矩阵描述为

（ψ₁（θ，i））^2r=（ψ₁₁（θ，i））^2r+（ψ₁₂（θ））^2r （3-64）

前面刚刚推导出下式：

下面着重对定子电流产生的定子绕组磁链部分进行变换，目标是下式中的电感矩阵（L）^2r。

（ψ₁₁（θ，i））^2r=（L）^2r·（i₁）^2r （3-66）

根据前述方法，对式3-26的两侧同时进行坐标变换，如下式所示。

显然，目标电感矩阵（L）^2r应该按下式进行计算：

（L）^2r=C_2s→2r·C_3s→2s·（L）^3s·C_2s→3s·C_2r→2s （3-68）

式3-68中的电感矩阵（L）^3s即是式3-26中的电感矩阵。在MATLAB中键入如下命令逐步进行分析：

然后继续进行简化，如下：

simple（l2r）

MATLAB中简化的最终结果如下：

参考式3-14、3-22，该结果描述为

L_d=L_s0+M_s0-3/2L_s2=L₁+3/2L_AAd

L_q=L_s0+M_s0+3/2L_s2=L₁+3/2LAAq （3-69）

所以前面分析的目标矩阵（L）^2r就可以表示为

4.三相ABC坐标系与dq坐标系中电磁转矩公式对比

由于转矩公式非常复杂，这里仅针对三相对称正弦定子电流下的电动机转矩公式对比，前面已经给出了化简后的转矩公式，见式3-42。dq坐标系中转矩分析如下：

对比一下，可以发现公式3-61与公式3-42完全吻合，转矩公式变换前后保持了一致。当然，式3-61形式上更为简单一点，使用频率较多。

必须强调的是：公式3-61与3-71中的永磁磁链指的是一相定子绕组中永磁磁链的幅值，公式中的dq轴电流在三相坐标系与两相坐标系的变换中采用了式3-48与3-49，即这里的电流指的是定子绕组相电流的幅值。当然，也可以采用其他的变换，但是如果上述变量和变换矩阵的使用不统一，那么建立的模型就是错误的，是自相矛盾的，也就无法用来对电动机进行正确的分析。