正弦量的相量表示法解析

【知识目标】

1）了解正弦量的相量表示方法。

2）掌握正弦交流电表示方法之间的转换关系。

【技能目标】

学习安装荧光灯电路，排除电路简单故障。

【情感目标】

培养学生对课外知识的应用能力，激发学生对高等数学知识的拓展。

观察与思考

上一节课我们学习了正弦交流电的一般表示方法，在以后的专业学习中我们还将用到交流电的其他表示方法，它们之间有什么关系？这节课我们一起来学习正弦量的相量表示法。

一、正弦量的相量表示

设某正弦电流为：

根据欧拉公式e^ix=cosx+isinx可以把复指数展开成：

上式中，I_m[ ]是“取复数虚部”的意思，而

同样，正弦电压的相量为：

特别注意：相量只能表征或代表正弦量而并不等于正弦量。二者不能用等号表示相等的关系，只能用“←→”符号表示相对应的关系。

二、相量图及参考相量

在复平面上可用一个矢量表示相量，该矢量称为正弦量的相量图（也简称相量），其符号与相量相同，如图4-11所示。

画几个同频率正弦量的相量图时，可选择某一相量作为参考相量先画出，再根据其他正弦量与参考正弦量的相位差绘制其他相量。参考相量的位置可根据需要任意选择。

图4-11 正弦量的相量图

练一练

【例4.5】 已知正弦电压u₁（t）=141sin（ωt+π/3）V，u₂（t）=70.5 sin（ωt-π/6）V，写出u₁和u₂的相量，并绘制相量图。

解：

相量图如图4-12所示：

图4-12 例4.5的相量图

【例4.6】 已知两个频率均为50Hz的正弦电压，它们的相量分别为，，试求这两个电压的解析式。(www.xing528.com)

解：

ω=2πf=2π×50=314rad/s

【例4.7】 已知正弦交流电电压，正弦交流电流，试绘制它们的矢量图。

解：

同频率的几个正弦量的矢量，可以绘制在同一图上，则绘制电压与电流的矢量图如图4-13所示：

图4-13 例4.7的相量图

a）最大矢量图 b）有效矢量图 c）电压与电流的矢量图

由以上分析可知，正弦交流电可以用解析式、波形图和矢量图表示。解析式是正弦交流电常见的表示方法，波形图比较直观，它们都能完整地表示正弦交流电，但进行正弦量加减运算时比较麻烦。矢量图是分析同频率正弦交流电路的常用工具。

巩固与提高

一、填空题

正弦交流电的表示方法有____、____和____。

二、选择题

1.在如图4-14当中的电压与电流的矢量图中，u与i的相位关系是（ ）。

A.u比i超前75° B.u比i滞后75° C.u比i超前30° D.u比i滞后30°

2.某正弦交流电的初相为-90°，则在t=0时，其瞬时值将（ ）。

A.等于零 B.小于零

C.大于零 D.不能确定

三、计算题

1.把下列正弦量的时间函数用相量表示。i=-5sin（314t-60°）A

图4-14 选择题1的相量图

2.已知交流电压、电流的解析式分别为，，试绘制它们的矢量图。

3.如图4-15所示正弦交流电路，已标明电流表A₂和A₃的读数，试用相量图求电流表A的读数。

图4-15 计算题3的电路图

4.如图4-16所示正弦交流电路，已知，，试用相量表示法求电压u_a和u_b。

图4-16 计算题4的电路图