基尔霍夫定律及应用举例

【知识目标】

1）掌握复杂电路中的几个概念。

2）理解基尔霍夫定律。

3）应用基尔霍夫电流定律列节点电流方程。

4）应用基尔霍夫电压定律列回路电压方程。

【技能目标】

掌握应用基尔霍夫定律列节点电流方程和回路电压方程的方法。领会电工学中归纳、假设的研究方法。

【情感目标】

在解题过程中培养学生谨慎、仔细、不怕困难的乐观精神，增强学生对电工学的热爱，提高他们的求知欲望。

观察与思考

比较图2-70和图2-71两个电路，分析它们的不同之处。

图2-70 电路1

有且仅有一条有源支路，可以用电阻的串并联进行化简

图2-71 电路2

有两条及两条以上有源支路，不能用电阻的串并联进行化简

欧姆定律可以确定电阻元件的电压与电流的关系，但一般只用于简单电路，对于一个比较复杂的电路，如图2-72所示的电路，如电源电压和各电阻已知用欧姆定律不能确定各支路的电流。对于复杂电路要利用基尔霍夫定律进行求解。基尔霍夫定律是分析电路的重要定律，它包括基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。

图2-72 复杂电路

一、复杂电路中的几个概念

如图2-72所示电路为复杂电路，其中分别涉及以下几个概念：

1.支路

电路中含有元器件且流过同一电流的分支电路称为支路。电路中的ED、AB、FC均为支路，该电路的支路数目为b=3。

2.节点

电路中3条或3条以上支路的连接点。电路的节点为A、B两点，该电路的节点数目为n=2。

3.回路

电路中任一闭合的路径。电路中的CDEFC、AFCBA、EABDE路径均为回路，该电路的回路数目为L=3。

4.网孔

不含有分支的闭合回路。电路中的AFCBA、EABDE回路均为网孔，该电路的网孔数目为m=2。

图2-73 电路

练一练

电路如图2-73所示，其中有几条支路？多少个网孔？

二、基尔霍夫电流定律（节点电流定律）

基尔霍夫电流定律（KCL）又叫基尔霍夫第一定律，有两种表述方法。

电流定律的第一种表述：在任何时刻，电路中流入任一节点中的电流之和，恒等于从该节点流出的电流之和，即

∑I_流入=∑I_流出 （2-28）

如图2-74中，在节点A上：I₁+I₃=I₂+I₄+I₅

电流定律的第二种表述：在任何时刻，电路中任一节点上的各支路电流代数和恒等于零，即

∑I=0 （2-29）

一般可在流入节点的电流前面取“+”号，在流出节点的电流前面取“-”号，反之亦可。如图2-74中，在节点A上：I₁-I₂+I₃-I₄-I₅=0。

在使用电流定律时，必须注意：

1）对于含有n个节点的电路，只能列出（n-1）个独立的电流方程。

2）列节点电流方程时，只需考虑电流的参考方向，然后再带入电流的数值。

图2-74 基尔霍夫电流定律示意图

为分析电路的方便，通常需要在所研究的一段电路中事先选定（即假定）电流流动的方向，叫做电流的参考方向，通常用“→”号表示。

电流的实际方向可根据数值的正、负来判断，当I＞0时，表明电流的实际方向与所标定的参考方向一致；当I＜0时，则表明电流的实际方向与所标定的参考方向相反。

练一练

【例2.17】 如图2-75所示电桥电路，已知I₁=25mA，I₃=16mA，I₄=12A，试求其余电阻中的电流I₂、I₅、I₆。

图2-75 例2.17的电路图

解：

在节点a上：I₁=I₂+I₃，则I₂=I₁-I₃=25mA-16mA=9mA

在节点d上：I₁=I₄+I₅，则I₅=I₁-I₄=25mA-12mA=13mA

在节点b上：I₂=I₆+I₅，则I₆=I₂-I₅=9mA-13mA=-4mA

电流I₂与I₅均为正数，表明它们的实际方向与图中所标定的参考方向相同，I₆为负数，表明它的实际方向与图中所标定的参考方向相反。

三、基尔霍夫电压定律（回路电压定律）

基尔霍夫电压定律（KVL）又叫基尔霍夫第二定律，即在任何时刻，沿着电路中的任一回路绕行方向，回路中各段电压的代数之和恒等于零，即

∑U=0 （2-30）

如图2-76所示，沿着回路abcdea绕行方向有

U_ac=U_ab+U_bc=R₁I₁+E₁，

U_ce=U_cd+U_de=-R₂I₂-E₂，

U_ea=R₃I₃

则 U_ac+U_ce+U_ea=0(www.xing528.com)

即 R₁I₁+E₁-R₂I₂-E₂+R₃I₃=0

上式也可写成

R₁I₁-R₂I₂+R₃I₃=-E₁+E₂

图2-76 基尔霍夫电压定律示意图

对于电阻电路来说，任何时刻，在任一闭合回路中，各段电阻上的电压降代数之和等于各电源电动势的代数之和，即

∑RI=∑E （2-31）

利用ΣRI=ΣE以图2-76中的回路为例列回路电压方程的步骤为

综上所述，可得：

I₁R₁+E₁-I₂R₂-E₂-I₃R₃=0

标出各支路电流的参考方向并选择回路绕行方向时，既可沿着顺时针方向绕行，也可沿着逆时针方向绕行。

1）电阻元件的端电压为±RI，当电流I的参考方向与回路绕行方向一致时，选取“+”号；反之，选取“-”号。

2）电源电动势为±E，当电源电动势的标定方向与回路绕行方向一致时，选取“+”号，反之应选取“-”号。

图2-77 变形电路图

1）任意选定未知电流的参考方向，如图2-77所示

2）任意选定回路的绕行方向。在图2-76中假定沿abcda逆时针绕行

3）确定电阻电压正负。若绕行方向与电流参考方向相同，电阻电压取正值；反之取负值。

4）确定电源电动势正负。若绕行方向与电动势方向相反，电动势取正值；反之取负值。

练一练

【例2.18】 如图2-78所示是两个电源并联对负载供电的电路。I₁=4A，I₃=-1A，R₁=12Ω，R₂=3Ω，R₃=6Ω。求各支路电流I₂和电源电动势E₁、E₂。

解：

据基尔霍夫电流定律可得

I₃=I₁+I₂

可求出 I₂=I₃-I₁=-5A

在回路 E₂-R₃-R₂-E₂中，据回路电压定律可得

E₂=I₂R₂+I₃R₃

可求出 E₂=I₂R₂+I₃R₃

=（-5）×3+（-1）×6=-21V

在回路E₁-R₁-R₃-E₁中，据回路电压定律可得

E₁=I₁R₁+I₃R₃

可求出 E₁=I₁R₁+I₃R₃

=4×12+（-5）×6

=18V

图2-78 例2.18的电路图

古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫（1824—1887）

1845年发表两个电路定律（基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律），发展了欧姆定律，对电路理论有重大作用。

与化学家本生一同开拓出一个新的学科领域——光谱分析，并发现了铯和锶两种元素。

提出热辐射中的基尔霍夫辐射定律，这是辐射理论的重要基础，并成为量子论诞生的契机，促使天体物理学得到发展。

巩固与提高

一、填空题

1.基尔霍夫第一定律又叫____。

2.基尔霍夫第二定律又叫____。

3.基尔霍夫电压定律指出：任何时刻，沿任一闭合回路绕行一周____。

4.基尔霍夫电流定律适用于____。

二、选择题

1.基尔霍夫电流定律应用于直流电路中，下列各式正确的是（ ）。

A.∑I_入=∑I_出 B.∑I_入+∑I_出=0 C.∑I=0 D.∑I≠0

2.应用基尔霍夫第一定律∑I=0列方程时，其中I的符号（ ）。

A.流入节点的电流为正 B.流出节点的电流为正

C.与实际电流方向一致取正 D.只有在正方向 选定时，电流才有正负值之分

3.基尔霍夫电压定律适用于（ ）。

A.节点 B.封闭面 C.闭合回路 D.假定闭合回路

4.关于KVL定律，下列表述正确的是（ ）。

A.∑E+∑IR=0 B.∑E=∑U C.∑E=∑IZ D.∑U=0

5.基尔霍夫KVL定律适用于（ ）。

A.节点 B.封闭面 C.闭合回路 D.假定闭合回路

6.基尔霍夫定律适用于（ ）。

A.线性电路 B.非线性电路 C.直流电路 D.交流电路

三、计算题

如图2-79所示电路，已知E₁=32V，E₂=11V，R₁=6Ω，R₂=4Ω，R₃=8Ω，试求：各支路电流I₁、I₂、I₃。

图2-79 计算题1的电路图