1.已知正弦电流i(t)=30cos(1000t-30°)A。
(2)电流i(t)与下列各电流的相位差分别是多少?
i1(t)=cos1000tA;i2(t)=sin1000tA;i3(t)=sin(1000t+45°)A
解:(1)电流i(t)的幅值Im=30A,角频率ω=1000rad/s,频率f,周期,初相φ=-30°,有效值。
(2)电流i(t)与电流i1(t)的相位差为
θ=-30°-0°=-30°
电流i(t)滞后电流i1(t)30°。
电流i2(t)可表示为
i2(t)=sin1000tA=cos(1000t-90°)A
电流i(t)与电流i2(t)的相位差为
θ=-30°-(-90°)=60°
电流i(t)超前电流i2(t)60°。
电流i3(t)可表示为
i3(t)=sin(1000t+45°)A=cos(1000t-90°+45°)A=cos(100t-45°)A
电流i(t)与电流i3(t)的相位差为
θ=-30°-(-45)°=15°
电流i(t)超前电流i3(t)15°。
2.请把下列复数表示为直角坐标形式:
解:
3.请把下列复数表示为极坐标形式:
(1)8+j5 (2)4-j4 (3)-6.4-j3.2 (4)-3+j4
解:
4.复数计算
解:
5.求下列正弦电压对应的相量,并画出相量图:
解:
相量图如图6-11所示。
6.已知电流相量,且f=50Hz,写出其对应的正弦电流表达式。
解:ω=2πf=100πrad/s
7.用相量变换的方法求以下正弦函数的和:
(1)4cos2t+3sin2t
(2)-6cos(4t+75°)+4cos(4t+35°)
图6-11 题5解图
解:(1)对正弦函数做相量变换,4cos2t对应相量为,3sin2t=3cos(2t-90°)对应相量为,在相量域进行相量的求和运算,即
做相量反变换,得5cos(2t-36.87°),则
4cos2t+3sin2t=5cos(2t-36.87°)
(2)对正弦函数做相量变换,有
-6cos(4t+75°)对应的相量为,
4cos(4t+35°)对应的相量为,
两个相量之和为
做相量反变换,得 3.91cos(4t-63.76°)
求得 -6cos(4t+75°)+4cos(4t+35°)=3.91cos(4t-63.76°)
8.电路如图6-12所示,已知电流i(t)=10cos10tA。
(1)请画出相量电路。
(2)用相量法求电压u(t)。
(3)求端口电压相量与电流相量的比值,即。
解:(1)相量电路如图6-13所示。
(2)电流i(t)对应的相量为A,根据图6-13可得
相量反变换得 u(t)=78.1cos(10t+50.19°)V
图6-12 题8图
图6-13 题8解图
9.无源单口电路如图6-14所示,若端口电压与电流分别为以下几种情况:
(1)u(t)=10cos(10t+45°)V,i(t)=2cos(10t-15°)A。
(2)u(t)=10cos(10t+50°)V,i(t)=2cos(10t+140°)A。
(3)u(t)=10sin100tV,i(t)=2cos100tA。
(4)u(t)=-10cos10tV,i(t)=-2sin10tA。求各种情况下的端口等效阻抗Z、构成电路N的元件参数、端口电压与电流的相位差,并指明哪个电量超前。
图6-14 题9图
解:(1)端口电压相量和电流相量分别为,。
端口等效阻抗为
电路N呈感性,可由电阻和电感串联构成,根据Z=R+jωL=(2.5+j4.33)Ω,得
端口电压与电流的相位差为θZ=60°,电压超前电流。
(2)端口电压相量和电流相量分别为,。
端口等效阻抗为
电路N为纯电容,即,电容值为
端口电压与电流的相位差为θZ=-90°,电流超前电压。
(3)端口电压相量和电流相量分别为,。
端口等效阻抗
电路N为纯电容电路,电容值为
C=0.02F=2mF
端口电压与电流的相位差为θz=-90°,电流超前电压。
(4)端口电压相量和电流相量分别为,。
端口等效阻抗为
电路N为纯电感,即Z=jωL=j5Ω,有
端口电压与电流的相位差θZ=90°,电压超前电流。
10.判断以下无源电路的结果是否合理,若认为不合理,请给予修正:
(1)RC电路:Z=(5+j2)Ω
(2)RL电路:Z=(4-j7)Ω
(3)LC电路:Z=(2-j3)Ω
(4)RLC电路:Z=(2+j4)Ω
(5)已知某电路的端口等效阻抗,端口电压为u(t)=300cos(10t+45°)V,在端口电压与电流参考方向关联的情况下,有
分析要点:此题的关键是要掌握阻抗形式与阻抗性质之间的关系。容性阻抗虚部为负,或者说,阻抗角在第4象限;感性阻抗虚部为正;反由储能元件构成的电路阻抗无实部;由电阻、电容、电感组成的电路阻抗角在第1或4象限。
解:(1)不合理。修正为Z=(5-j2)Ω。
(2)不合理。修正为Z=(4+j7)Ω。
(3)不合理。修正为Z=-j3Ω。
(4)合理。
(5)不合理。修正为
相量反变换,得 i(t)=12cos(10t-15°)A。
11.指出下列各式哪些是对的,哪些是错的:
解:(1)错。修改为
(2)错。修改为
(3)对。
(4)错。修改为
(5)对。
12.试求:(1)200μF电容在50Hz和50kHz频率的阻抗值。
(2)1.4H电感在50Hz和50kHz频率的阻抗值。
解:(1)在50Hz频率时,阻抗为
在50kHz频率时,阻抗为
(2)在50Hz频率时,阻抗为
ZC=jωL=j2π×50×1.4Ω=j439.82Ω
在50kHz频率时,阻抗为
ZC=jωL=j2π×5×104×1.4Ω=j439.82kΩ
题意启示:电容、电感的阻值随频率变化。频率低,感抗小,容抗大。频率高,感抗大,容抗小。
13.求图6-15所示电路在ω=50rad/s的输入阻抗Zi。
解:画相量电路,如图6-16所示。
图6-15 题13图
图6-16 题13解图
14.电路如图6-17所示,使u0(t)=us(t)的角频率是 (4)
(1)Orad/s (2)lrad/s (3)4rad/s
(4)∞rad/s (5)以上选择都不对
图6-17 题14图
15.图6-18所示电路中的电压源us(t)=5cos(2t)V,求电压u0(t)。
解:画相量电路,如图6-19所示。由分压公式得
做相量反变换,得 u0(t)=5cos(2t+90°)V
图6-18 题15图
图6-19 题15解图
16.求图6-20所示各电路的电流i(t)和电压u(t)。
图6-20 题16图
解:(1)画图6-20a的相量电路,如图6-21所示。根据分流公式,得
则
做相量反变换,得
图6-21 题16解图
图6-22 题16解图
(2)画图6-20b的相量电路,如图6-22所示。利用相量形式的欧姆定律,得
利用分压公式可得
做相量反变换,得
i(t)=10cos(4t+36.87°)A
u(t)=41.61cos(4t+33.69°)V
17.求图6-23所示各电路的端口等效阻抗和导纳。
图6-23 题17图
a)ω=103rad/s b)ω=50rad/s
解:图6-23a所示电路的相量电路如图6-24a所示。利用阻抗串并、联化简公式,得端口等效阻抗为
图6-24 题17解图
图6-23b所示电路的相量电路如图6-24b所示。端口等效阻抗为
18.电路如图6-25所示,求在以下两种情况下的电流i(t)。
解:(1)当ω=1rad/s时,相量电路如图6-26所示。由图可得
做相量反变换,得i(t)=1.87cos(t-22°)A
图6-25 题18图
图6-26 题18解图
(2)当,即ω=10rad/s时,相量电路如图6-27所示。由图可得
做相量反变换,得 i(t)=0.44cos(10t-83.66°)A
19.电路如图6-28所示,求电压。
图6-27 题18解图
图6-28 题19图
解:设电压和如图6-29所示。利用分压公式,得
20.选择题。图6-30所示电路中的电压是(3)。
图6-29 题19解图
图6-30 题20图
21.求图6-31所示电路中的u(t)和i(t)。
解:画相量电路,如图6-32所示。电感与电阻并联的等效阻抗为
图6-31 题21图
图6-32 题21解图
利用分压公式得
电流相量为
相量反变换,得
i(t)=1.58cos(10t+93.44°)A
图6-33 题22、23图
22.选择题。图6-33所示电路中的电流是(1)。
23.选择题。在图6-33所示电路中,电压的有效值为(3)。
(1)-4.8V (2)-8V (3)8V (4)4.8V
24.选择题。图6-34所示电路ab端口的戴维南等效阻抗Zab为(3)。
(1)1Ω (2)(0.5-j0.5)Ω (3)(0.5+j0.5)Ω
(4)(1+j2)Ω (5)(1-j2)Ω
25.选择题。图6-34所示电路ab端口的开路电压为(1)。
26.选择题。电路如图6-35所示,ab端口的诺顿等效电流为(4)。
图6-34 题24、25图
图6-35 题26图
27.电路如图6-36所示,求电流i0(t)。
图6-36 题27图
解:原电路的相量电路模型如图6-37所示。列结点电压方程
则有
做相量反变换,得
i0(t)=2.82cos(10t+151.02°)A
注意:为确保初相取值的唯一性,规定初相的取值范围为-180°≤φ≤180°。这就是说,当初相在一、二象限时取正角,在三、四象限时取负角。此题电流的初相-208.98°超出了取值范围,且在第二象限,故取正角,为φ=360°-208.98°=151.02°。
图6-37 题27解图
28.请列出图6-38所示电路的结点电压方程。
解:
29.请列出图6-39所示电路的结点电压方程。
解:设参考结点及结点电压如图6-40所示。结点电压方程为
图6-38 题28图
图6-39 题29图
图6-40 题29解图
30.试用网孔法求图6-41所示电路的电流和。
解:设网孔电流方向,如图6-42所示。图中两个网孔电流方程分别为
式(6-24)×2+式(6-25),得
把代入式(6-24),有(www.xing528.com)
图6-41 题30图
图6-42 题30解图
31.试用网孔法计算图6-43所示电路中的电压。
要点:在三个网孔电流中,两个网孔电流为已知的电流源电流,因此,只需列一个方程,求一个网孔电流。
图6-43 题31图
解:设网孔电流及参考方向,如图6-44所示。右上角网孔电流方程为
得
则
32.电路如图6-45所示,求电压u0(t)。
当电路中独立源的频率各不相同时,必须用叠加法。该题就属于这种情况。
图6-44 题31解图
解:用叠加法。
(1)10V直流电压源单独作用,其余电源置零。在直流电路中,电容开路,电感短路,等效电路如图6-46a所示。由图可知
U0=10V
图6-45 题32图
(2)12cos(3t)V正弦电压源单独作用,等效电路如图6-46b所示。利用分压公式得
则 u1(t)=10.71cos(3t-26.57°)V
(3)4sin(2t)A正弦电流源单独作用,等效电路如图6-46c所示。电流源端口的等效导纳为
则 u2(t)=21.43cos(2t-63.43°)V
时域叠加,得
u(t)=U0+u1(t)+u2(t)=[10+10.71cos(3t-26.57°)+21.43cos(2t-63.43°)]V
图6-46 题32解图
33.选择题。已知某电路在负载端口的戴维南等效阻抗是(80+j55)Ω,为使负载阻抗获得最大功率,负载阻抗必须是(3)。
(1)(-80+j55)Ω (2)(-80-j55)Ω (3)(80-j55)Ω (4)(80+j55)Ω
34.电路如图6-47所示,求电流i(t)。
解:相量电路如图6-48所示。利用分流公式可得
得 i(t)=4.46cos(200t-33.43°)A
图6-47 题34图
图6-48 题34解图
35.已知某正弦稳态电路的端口电压为u(t)=80cos(10t+20°)V,端口电流为i(t)=15sin(10t+60°)A,求该电路的平均功率。
解:端口电压、电流相量分别为,
该电路的平均功率为
36.已知电流流过导纳Y=0.0522°S,求导纳的损耗功率。
解:
则 P=Re[Z]I2=RI2=18.54×102W=1854W。
37.求图6-49所示各电路ab端口的戴维南等效电路。
图6-49 题37图
解:(1)求图6-49a所示电路的戴维南等效电路。
端口开路电压为
图6-49a所示电路的ab端口等效阻抗为
Z0=[j20//(-j10)+10]Ω=(10-j20)Ω
等效电路如图6-50a所示。
(2)求图6-49b所示电路的戴维南等效电路。
化简图6-49b所示电路,如图6-50b所示。端口开路电压为
等效电路如图6-50c所示。
图6-50 题37解图
38.电路如图6-51所示,求各元件的平均功率。
思路:先求各支路电流,再通过支路电流求电阻、电源的平均功率。由概念可知电容和电感的平均功率为零。
解:设网孔电流,如图6-52所示。列网孔电流方程,求和。
图6-51 题38图
图6-52 题38解图
网孔1方程
网孔2方程
式(6-27)化简为,代入式(6-26),得
4Ω电阻的平均功率为 P1=4I12=2×1.582W=5W
2Ω电阻的平均功率为 P2=2I22=1.582W=2.5W
根据功率守恒定律可知,电压源的平均功率为
Ps=-(P1+P2)=-(5+2.5)W=-7.5W
或者直接计算得
电容元件和电感元件的平均功率为0W。
39.求图6-53所示电路中电流源的平均功率。
解:方法一
电流源端口的等效阻抗为
等效阻抗的平均功率为
电流源的功率为 PI=-P=-533.33W
方法二
设电阻支路的电流为,如图6-54所示。利用分流公式可求得
电阻消耗的功率等于电流源提供的功率,因而有
图6-53 题39图
图6-54 题39解图
40.电路如图6-55所示,求:
(1)ZL取何值时能从前端电路获得最大功率?
(2)最大功率是多少?
解:化简图6-55电路,如图6-56所示。其中
图6-55 题40图
图6-56 题40解图
由图6-56可直接得知:
(1)当时,能从前端电路获得最大功率。
(2)这时,最大功率为
41.求图6-57所示电路中:
(1)ZL取何值能获最大功率?
(2)最大功率是多少?
解:化简电路,如图6-58所示。其中
图6-57 题41图
图6-58 题41解图
由图6-58可直接求得
(1)当时,能获得最大功率。
(2)此时的最大功率为
42.请标出图6-59所示耦合电感的同名端。
解:设1、3端口电流如图6-60所示。1端口流入电流产生的磁力线用实线表示。3端口流入电流产生的磁力线用虚线表示。因磁力线方向一致,故两个电流流入端为同名端,即1、3端子互为同名端,2、4端子也互为同名端,如图6-60所示。
图6-59 题42图
图6-60 题42解图
43.请写出图6-61所示两个耦合电感的电压电流关系。
解:图6-61a所示电路的电压电流关系为
图6-61b所示电路的电压电流关系为
图6-61 题43图
44.求图6-62所示电路的ab端口等效电感。
解:设耦合电感的端口电压、电流,在所示参考方向下画受控源等效电路,如图6-63所示。端口电压电流关系为
则ab端口等效电感为 L=L1+L2-2M
图6-62 题44图
图6-63 题44解图
45.电路如图6-64所示,求i1(t)和i2(t)。
解:做去耦等效相量电路,如图6-65所示。
图6-64 题45图
图6-65 题45解图
列网孔电流方程
式(2)整理为,代入式(1),得
则做相量反变换,得
i2(t)=2.37cos(10t-99.46°)A
i1(t)=3.08cos(10t+40.74°)A
46.求图6-66所示电路的输入阻抗Zi。
解:二次回路阻抗为Z22=(20-j5+j40)Ω=(20+j35)Ω
二次回路在一次的反应阻抗为
则有 Zi=10+j12+Zf1=(10+j12+2.77-j4.85)Ω=(12.77+j7.15)Ω
47.求图6-67所示电路中的电压。
图6-66 题46图
图6-67 题47图
解:做二次等效电路,如图6-68所示。其中
一次回路阻抗为 Z11=(1+j6)Ω
一次回路在二次的反应阻抗为
二次回路的等效电压源为
利用分压公式解得
48.电路如图6-69所示,已知,L1=L2=2H,R1=500Ω,M=1H,C1=C2=0.5μF,求:
图6-68 题47解图
图6-69 题48图
(1)负载ZL为何值时可获最大功率?
(2)最大功率是多少?
解:本题求解的是二次回路的问题,所以要用二次等效电路分析。其中
一次回路的阻抗为
一次回路在二次的反应阻抗为
二次回路的等效电压源为
二次等效电路如图6-70所示。
由图可知:
(1)当Z1=Z0*=(2+j2-j2)kn=2k.Q.时,能获最大功率。
(2)最大功率为
49.请写出图6-71所示理想变压器的电压电流关系式。
解:图6-71a的电压电流关系如下:
图6-70 题48解图
图6-71b的电压电流关系如下:
图6-71 题49图
50.求图6-72所示电路中的电流和。
图6-72 题50图
解:利用理想变压器的阻抗变换关系,做一次等效电路,如图6-73所示,其中折合阻抗为n2ZL=33×2Ω。由图可求一次回路的电流为
再根据理想变压器的电流关系,得
51.电路如图6-74所示,为使10Ω电阻获得最大功率。求:
(1)匝比n。
(2)计算10Ω电阻获取的最大功率。
解:方法一:用一次等效电路分析。
做理想变压器的一次等效电路,如图6-75所示。根据最大功率传输定理知
图6-73 题50解图一次等效电路
(1)当,即时,负载10Ω电阻能获最大功率。
(2)此时获得的最大功率为
方法二:用二次等效电路分析。
二次等效电路如图6-76所示。根据最大功率传输定理知
图6-74 题51图
图6-75 题51解图一次等效电路
图6-76 题51解图二次等效电路
(1)当40n2=10,即时,10Ω负载获最大功率。
(2)最大功率为
52.电路如图6-77所示。求输出电压。
解:做理想变压器的一次等效电路,如图6-78所示。其中
图6-77 题52图
图6-78 题52解图一次等效电路
在图6-78所示电路中,利用分压关系,得
由理想变压器的电压电流关系可知
回到图6-77所示电路中,由分压关系可得
53.电路如图6-79所示,请用结点法求和。
图6-79 题53图
图6-80 题53解图
解:设参考结点,如图6-80所示。两个结点电压分别为和。列结点电压方程
解得
54.若某城镇的高压配电电压为AC10kV,送入用户端口变压器的一次,如图6-81所示,变压器的输出电压为AC220V。
(1)求变压器的匝比n。
(2)接在220V电压上的100W白炽灯要从高压线上获取多大的电流?
图6-81 题54图
解:
(2)方法一:二次回路的电流为
则一次回路,即高压线上的电流为
方法二:根据理想变压器输入功率与输出功率相等的特点,已知P出=100W,P入=U1I1,则
55.在图6-82a所示电路中,电容起阻隔前端放大器电路的直流、把放大的语音信号传递给扬声器的作用。图中放大器电路和电容可视为电源,扬声器作为负载,等效电路如图6-82b所示,求:
(1)在什么频率上扬声器能获最大功率?
(2)若Us=4.6V,扬声器在该频率点上获取的最大功率是多少?
图6-82 题55图
解:(1)图6-82b回路电流为
当电流值I最大时,即回路阻抗Z最小时,扬声器能获最大功率。这时有
即
或者
(2)在(1)问的频率上,回路电流为
扬声器获得的功率为 P=RLI2=4×0.332W=0.44W
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