信号稀疏表示的优化技巧

信号的稀疏表示就是将某个信号随机映射到一个特征空间，大部分基表示系数的绝对值接近于零或者等于零。

对于一个给定的N维任意复矢量信号x，通常情况下可以用任意基φk与相对应的加权系数βk的线性组合表示，其中k=1，2，…，N。x可以表示为

其中，Φ=[φ1，φ2，…，φN]为N×N维满秩基矩阵，β=[β1，β2，…βN]T为N×1维由加权系数列向量组成的矩阵。由式（2-1）可知，x与β为同一信号的等价表示。为便于理解，可借用傅里叶变换来解释：假设β是有限长的时域离散信号，x是相应的频域表示，则矩阵Φ就是离散傅里叶变换矩阵。如果β中非零值的个数M远远小于实际信号的维数N，则说明该信号是稀疏的、可压缩的。通常情况下，稀疏信号可以用极少数加权系数与某个正交基的线性组合来表示，也就是说它能在某个正交基下稀疏表示。应用压缩感知理论解决实际问题的首要任务就是找到适合信号变换的正交基，通过投影表示，获取信号的稀疏表示，也就是说，对于已知信号x，可以选择基{φk}Nk=1下对应的k0个系数βk0表示，而其他的所有系数βk都为零。(www.xing528.com)

如果信号能用一个正交基{φk}Nk=1与一组仅有d个非零系数的向量xk精确表示，则称该信号是稀疏度为d的信号，也称为d稀疏信号。如果信号能够由d个非零系数的线性组合逼近，则称该信号为近似d稀疏信号。实际应用中，信号所需要的精度取决于实际情况，稀疏信号的重构误差具有随着d值的增加而增大的特点，因此只要适当减小d，就能达到所需要的重构精度。