输入稳定性与反馈系统状态优化

输入-状态稳定性讨论的是带有输入的系统的稳定性。输入-状态稳定性可用于具有交互的系统或者特定的反馈系统中。

我们首先讨论一个通用的ISS（输入-状态稳定性）系统的反馈结构，如图7-4所示。假设整个回路的增益充分小，那么整个系统是输入状态稳定的，这就是著名的小增益稳定性。

在图7-4中，外部输入为u₁，u₂，系统状态（输出）为y₁，y₂。内部信号e₁，e₂。变量的含义如下：

u₁——环境对系统的外部扰动；

图7-4 通用反馈回路

u₂——控制参考和测量误差的信号；

y₁——控制作用下的系统状态；

y₂——补偿器或者控制子系统及设计自由度的状态；

e₁——被控系统的控制输入；

e₂——从被控系统推算出的测量反馈。

小增益定理：(www.xing528.com)

如图7-4中所示的稳定性结果如下所述：

假设系统S₁从输入e₁到输出e₂的ISS增益为g₁。这一增益值的计算与反馈回路的结构无关，也就是说，假定e₁是完全没有限制条件的。在简单的情况下，比如说线性系统，增益值说明，e₂的值小于e₁的值与g₁（正标量）的乘积。

类似地，假设系统S₂从输入e₂到输入e₁的ISS增益是g₂。那么这个增益与反馈回路无关，g₂是系统S₂的一个属性。

下面将分析反馈回路中S₁与S₂组成的串级系统增益。这一串级系统的增益是g₁和g₂的组合。在最简单的情况下，增益g可以表示为g₁和g₂的乘积，也被称为回路增益。

结论：反馈回路的输入-状态稳定性，是从外部输入（u₁，u₂）到外输出/状态（y₁，y₂）以及回路信号（e₁，e₂），要求回路增益g严格小于1。增益裕量：

小增益定理可以对系统的稳定性评价进行量化，或者是稳定度，表示为增益裕量。

如图7-4所示，反馈回路中系统G₁，而另外一个系统是一个纯增益系统G₂=K。

一般情况下，随着增益K的增加，反馈回路可能会变得不稳定。如果使反馈回路稳定最大的K大于1，那么增益K被称为系统G₁的增益裕量。（1起到特殊的作用，因为传统上一般假定单位反馈回路是稳定的。）

直觉上可能与小增益定义背道而驰，但是系统可能会有无穷大的增益裕量。

更一般的情况，系统稳定前提条件是要求增益K满足K∈（K_min，K_max）。如果0不属于这一区间（0=无反馈），那么这类系统是开环不稳定的。

小增益定理结果是非常有帮助的，但同时也非常的保守。实际情况中，可能对增益的估计不是特别严格，这些估计值可能不能满足小增益条件。而反馈回路可能是稳定的且性能良好。即使我们的增益估计值十分严格，我们也不能期望小增益条件能涵盖所有可能的稳定反馈回路。毕竟，增益只是说明了信号大小的作用，当然更重要的是信号本身而不是它的大小。