反馈与模型不确定性：探究7.3事件的影响

1）运算放大器 运算放大器是一种电路，输入和输出之间的增益A（假设A>10⁵）非常大，正常输出电压以伏特为测量单位，假设输出电压小于10V，那么输入电压将小于0.1mV（10V除以10⁵）。

当建立带有运算放大器的电路时，我们可以依靠的事实是任何一个放大器的增益都是很大的。但我们不能依靠增益的精确值。同一生产批次的运算放大器，其增益也可能大不相同。增益变化在一个数量级或者更大都是常见的。此外，增益将随着使用时间的推移和电路的温度而改变。但是，无论增益怎么变化（比如在10⁴和10⁷之间），其绝对数值都是很大的。并且在正常情况下运算放大器的输入电压始终保持是一个很小的数（小于1mV）。

如果将一个运算放大器放置在一个负反馈结构中，即输出电压反馈到“—”端，如图7-2a所示。输出V_O和输入V_i之间的增益为

这种关系等效于如图7-2b所示的结构图。因为放大器的增益是非常大的，所以无论如何，输入输出之间可近似看成：

图7-2 运算放大器

在这里，放大器的实际增益并不重要，电路中V_O与V_I连接的其他部分也不重要（放大器大大简化了电路分析与综合），这两个电压之间的关系完全基于运算放大器周围的电阻。当我们能够确定电阻值时，输入和输出电压之间的关系也就非常明确了。正是由于负反馈的存在，才能进行如此重要的简化。运算放大器

供知晓一定电路原理的人参考：根据欧姆定律（流经电阻的电流与电阻两端的电压成正比）和基尔霍夫定律（确定电路中电压之和为零，在任意节点处电流和为零），可以容易地导出运算放大器电路的输入输出关系。如图7-2a所示，在节点1处，利用基尔霍夫定律，已知放大器的输入电流为0，有

放大器的等式可以简化为V_o=Aε，在上一等式中用V_o/A替换ε，经过整理得到了式7-2。(www.xing528.com)

正如图7-2所示，只要增益足够大，回路的路径中存在何种原件都不是很重要，整个系统的增益为（R_o）/（R_i）。

这个结果可以扩展到任何动态反馈系统。考虑如图6-11所示，假设干扰和噪声信号是零，将会有下列关系：

因此，由于GK的增益远大于单位增益，信号输入/输出关系只决定于F和H（式7-4）。准确地设计这两个元素将给得到期望的响应，与对象或者反馈控制器无关。

‖GK‖>>1⇒y≈FH^-1r（7-4）

这看起来太好了，以至于怀疑它的真实性。一般来说，确实是这样的，尽管它几乎是对的。实际上我们却不能保证GK>>1，并且对所有可能的参考信号r，我们并不能保证稳定性或者设计的合理性。但在r是某些经典的信号时，我们能够使GK足够大^[3]。

当处理更加复杂的系统和运算（非线性，随机，多变量等等）时，相同的概念同样适用。

我们假设r是常值信号，F=H=1，并且不存在扰动和噪声。在这种情况下将反馈控制器K设计为一个纯积分器（在被控对象不对输入进行微分时，该积分器在GK中保留下来），无论系统何时达到稳定状态，均可以保证y=r。我们假设在设计合理的反馈中，这是正确的。事实上在稳定状态，y是常值。如图6-11所示，反馈控制器K的输入r-y也是常值。因为反馈控制器包含积分器，反馈控制器K的输入r-y必须是0。如果不是0，那么输入将会积累并且在闭环内产生无界的信号。这与稳定状态的假设是相矛盾的。

下面将以马桶例子进行对比分析。在马桶的例子中，水箱为积分器，因此水箱的液位总是被注水到一个合适的高度，这与马桶其他的部分无关。

由于这个原因，反馈控制器一般都包含积分器，因为积分器可以无误差地跟踪常数参考信号，也称之为调节器。在控制器的设计中，使输出稳定在给定的参考信号水平是一个重要的任务。所以积分被包含在大多数工业反馈控制器中，在工程或过程中无处不在。在9.3.3节中，这个概念被应用在PID^[4]控制器中，而PID控制器被广泛应用在流程行业和制造行业。

很明显，如果回路增益GK非常大并且FH¹≈1，那么无论被跟踪的信号是什么，反馈控制都可以提供一个很好的跟踪解决方案（尽管不总是完美）。与开环控制相比，需要一个不是很苛刻的要求：F≈G^-1。反馈也不需要太多被控对象G的信息，就能获得很好的跟踪效果（其中，r是重要的，G是很小的，K应该足够大使得GK很大）。