线性动态系统稳定性问题及其解决方法

在线性动态系统中，稳定性问题的解决可以依赖线性代数知识。大多数的稳定性问题，包括合成问题都是易于计算的，即使状态的维数很大。我们拥有大量的计算机辅助设计软件。

尽管只有很少的系统是线性系统，但是大多数的系统都可以在我们感兴趣的操作范围内被近似成线性系统，从而判断系统的稳定性。毕竟稳定性是一个局部特性，这是对动态系统领域著名的哈特曼格.罗布曼定理的简单概括。此外，控制领域代表性的目的是通过建模将系统控制在我们期望的行为。很明显，好的表现意味着被控制的系统与我们期望的目标接近。线性系统通常可以很好地近似与期望行为的偏差。

考虑最简单的自治系统模型：

x（k+1）=ax（k），k=0，1，2，…（6-1）

x（k）和a是标量。a称为极点或系统的特征值，通过简单迭代计算可以很容易解的集合：

式中，x（0）=x₀是初始状态。

很明显x₀=0是一个平衡点。(www.xing528.com)

在a<1时，即极点的模小于1时，这个平衡点是一个全局渐进稳定点，同时所有解都接近平衡点，并且随时间收敛到该平衡点。

在a=1或a=-1时，平衡点是稳定的，但不是吸引的。当a=1时，所有的解都不变，初始时刻离平衡点近的点始终都近，很明显没有办法使它们离平衡点更近。当a=-1时，除了平衡点外所有的解随时间跳变：x（0）=x₀，x（1）=-x₀；x（2）=x₀，继续下去，很明显平衡点是稳定的，但是解并不收敛到平衡点。

如果a<-1或a>1，那么平衡点是不稳定的，所有的解（除了在平衡点的解）将会随时间发散。

利用z变换知识，式6-1可以写成

算子^[2]1/（z-a）决定了系统的稳定性。