信号变换及其在频谱分析中的应用

正如提到的正弦信号的集合或许不是表征感兴趣信号的最佳函数集合。不同的信号环境要求相应基本函数的适当组合。将一个时间函数表示为一系列的基本函数的集合的线性组合称之为信号变换。

傅里叶变换，产生傅里叶序列（公式4-6），是其中的一种变换。它使用将正弦曲线类作为基函数的脉动。几乎任意信号s（t）可以用正弦函数的线性组合（无限的）唯一的表示出来

傅里叶变换F（v）经常被称之为频域表示，或者时域信号f（t）的频谱表示。在信号处理中，术语频谱和带宽指的是在傅里叶变换中的特定脉动是多么的重要，而且频率谱的这部分包含有信号总能量的一半。

信号的能量等于信号平方对时间的积分。这在傅里叶分析中是一个很重要的理论^[13]，阐述了时域中测量的能量等于在频域中测量的能量（这个理论要比它听起来深奥得多）。

有很多不同类型的变换。其中的一些要比另一些更有用。变换的有用性取决于基本函数的属性，以及对信号进行变换以及反变换的难易程度。

其他的在论文中详细阐述的变换方法，并且很好的适用于线性系统研究的是拉普拉斯^[14]变换和Z变换。拉普拉斯变换是对于连续时间信号而言的，使用e^at cos（ωt）和e^atsin（ωt）作为基函数类，它们能够方便的由e（a+jω）t表示出来。这种转变需要一个复杂的变量来指定基函数s=a+jω。转换是一个复值函数。存在一个反变换，将复杂的变换函数转换到时域信号。有数学用表总结出典型的函数以及它们的拉氏变换。正式地说，信号f（t）的拉氏变换是通过积分计算给出的：

其中s是复变量。F（s）表征基函数e^st在f（t）表示中的重要性，再得到f（t）就是相应的拉式逆变换，(www.xing528.com)

例如，下面的拉氏变换通过前面的定义可以很容易地计算出来：

在这个变换的很多性质之中，我们必须注意其中的两点。第一，线性：一系列信号线性组合的拉式变换是它们拉氏变换的线性组合。第二，一个函数导数的拉氏变换是

这两个性质在表示连续时间线性系统时，十分有用。

用正弦信号和来表征信号

一定时间间隔上的任意信号的测量能够以任意的精度用一系列的正弦函数大约表示出来。要求表征信号的频率集合称之为信号的频谱。信号的带宽是表征整个信号一半能量的频率间隔。