信号及其图形表示

信号是一个时间段内特定变量的记录。一个房间的温度，一条河的水平高度，一个电容器不同时间的电荷量，这些都是信号。在一个时间段内总有一个我们所感兴趣的变量，每一次观察或者某一个数据点都有一个唯一标识，通过这个唯一标识，可以在以后的阶段（时间段）中重新获取这个变量。根据我们观察数据的方式，通常有许多方式来索引一组特定的数据。有些时候索引是自动产生的，在数学语言中信号被称为函数，在函数里包括两者，一个是一组索引集里的每个索引值，另一个是所有可能的函数值中的某个特定的值。如果这个索引是或者包含时间^[1]，那么就称之为信号。如果这个索引集包含的是分散的时间值，也就是离散的时间值，那么这个信号就称作（时间）序列。

拿一个水银温度计为例，如图2-1a所示。水银面随着时间的变化，如图2-1b所示。横坐标表示时间，纵坐标表示测量温度，这个值可以被记录在一条磁带中。如图2-1c所示这个是一个模拟连续时间信号：时间和函数值都是连续的。

假设我们现在只考虑随着时间变化的温度。每次我们观测温度计，都可以读出一个温度值。这组数据如图2-1e所示，我们可以将读取温度的时间放在第一列，将对应时间读取的温度值放在第二列。虽然表格能清楚地表示所记录温度的有限精度，我们使用有限的位数来表示它，比如37.2°C。但这样列出的表格看上去很不直观，并且不能传递“变化”这一信息。

图 2-1

a）温度由一个温度计所观测 b）、c）并记录为模拟的 d）、e）离散的信号 f）曲线图

表格就像一块数字手表，表示时间的数字并不会像钟表指针的走动那样准确地传达时间流逝的过程。在本书中这些表格都是以图的形式表示，表格中第一列的是时间，表示为一定尺度下的横坐标，而第二列是测量值，表示为纵坐标，线的长度表示大小。因此表中每一行分别表示图中的每一个点。在图2-1f中用曲线图表示。本书中的所有信号其实都只是一些表格或者一些点的集合。然而，一些分散的点集并不能直观地传递我们所感兴趣的、连续变化的变量信息^[2]。这些点通常用一条线所连接，这些图称作曲线图。曲线图可以很好地表示变量的变化。

表中的信号表示为离散时间信号。如果它们的值也是离散的，那么它们也被称作数字信号。这些数据可以以字符串的形式被记录在数字记录器中，如图2-1d所示。有时我们需要同时测量不止一个变量，此时我们可以把这些测量值以时间为索引，再给每一个变量指定一个标识，即便有些时候我们通常不采用多个而是一个信号来表示。这个信号的每一个时间索引都对应着一组不同的值（每一个值代表信号中的一个部分）。例如，我们可能想要同时观测随着时间变化的温度和气压。这个信号就在每一个对应的时间点上包括了两个值。如果我们还要考虑在全球不同地点的温度，我们还可以用三个标量来索引，这三个标量是一个位置的经度、纬度以及时间。同样，这个信号值是所有给定时间值的集合。这样的信号相对比较难于表示，但是天气图中就是这样表示的。

信号

信号是一个函数。在信号中，通常索引集用时间来表示并对应着一个数值集。在这个索引集（如每个时间段）中的每个成员都指定对应值集（温度）中的一个元素（当前时刻的温度）。

不同信号的表示方法

一页曲谱中有序排列的音符可以看作是信号。这个索引集的表示很特别。首先有一个序列{1，2，…}，音符需要按照指定的序列演奏，每一个音符都有一个特定的符号规定了其需要演奏的拍长，这就定义了时间索引集，而数值集则是音高或者需要演奏的音符频率的集合。经由一位音乐家或者一个乐器所演奏后，信号就变成了我们所听到的音乐。我们听到的乐曲就是一种信号：它是在一段时间内空气在我们耳膜上产生的振动。一段时间内，在传声器上接收到的空气的振动（音乐）以数字格式表示并记录在一张光盘上，这段时间称为采样时间，在这段时间内，信号被测量或者进行了采样。

至此我们提出了三种完全不同的方式来表示同一列我们所感兴趣的音乐：一页乐谱、空气在耳膜上的振动，以及光盘上的一串由0和1组成的数列。(www.xing528.com)

乐谱和记录在光盘上的数列是经采样的数据信号，索引集是一组离散的时间值。不仅索引值是离散的，信号值也被限定在一组离散的值的范围内。由于作曲家采用了一种通用的准则，因此在乐谱中只表示了可能的几种音符。类似地，在光盘中也有一定数量所规定的数值来表示空气的振动，通常是0到4095之间的整数。这样自然会有一些近似的情况，因为空气的振动不可能只有4096（=2¹²）个不同的值。

如果采用更加古老的方式，空气的振动也可以被记录在磁带上，这样信号将被使用以另一种方式表示。从磁带的一端开始所经过的距离（也就是磁带以一定速度播放了一段时间所经过的距离）就是索引值集，而磁带例子的纵轴高度是数值集。这时，信号就有了一个连续的索引集，如果这个索引集表示时间，那么这就是一个连续时间信号。既然纵轴高度是一个角度，那么数值集也是连续的。此时我们称这种信号为模拟信号（如图2-2所示）。

图2-2 录音

到目前为止，我们讨论了以下几种信号：

●如果数值集是离散的，那么信号就称为离散信号；如果数值集是连续的，那么信号就称为模拟信号。

●如果索引集表示的时间是连续的，那么信号就称为连续时间信号。如果索引集表示的时间是离散的，那么信号就称为时间序列，或者离散时间信号。

●如果信号是由从一个连续时间信号中提取的某些特定时间（定期或者不定期）组成的，那么信号就称为采样信号。此时，索引集是离散的。当信号的数值集和索引集都是离散的时候，我们就称之为数字信号。

无论是磁带还是光盘，我们所记录的信号都不完全与我们所听到的音乐一样。尽管磁带的记录方式以连续信号保留了音乐的形式，但是由于索引值和数值集都是离散的，乐谱或者光盘记录的信息或多或少地都会量化。它们是真实音乐的采样结果。将不同的乐器、空气的振动以及接收装置（人耳或者传声器）联系起来组成一个系统，就可以组成一个信号用来观察音乐。

为什么这些信号是合适的音乐表示方法以及如何将其这样表示就是信号处理所要研究的内容。

注意，乐谱上和光盘上的信号本质是非常不同的。乐谱首先表示了音符的顺序，其次表示了这些音符（音调或者频率）的持续时间，还有对应的能量（留出了大量的艺术解释空间）。乐器所演奏相应的气压空气振动被记录在光盘上，导致频率之间的联系看上去像是消失了。信号处理则可以通过记录的信号联系再现出来，从而表现出音符并不仅仅是一些特定的频率，还包含了音色等信息结构。

这个例子向我们展示了信号与系统是如何紧密联系的，不可分离的。如果不经由乐器的演奏，乐谱是不会变成一首音乐的，而没有一个传声器来测量的话，也不会被记录下来。在光盘上记录的音乐信号就好像是在某个系统（乐器以及传声器）中乐谱信号的一种表达方式，从而能够产生和捕获音乐信息。