弹性接触的Hertz理论简介

由于微动疲劳是连接件之间的接触引起的，因此接触力学的研究对明确微动区域的接触行为是非常必要的。由于本书的篇幅和主题所限，本章只介绍工程实际中常见的两圆柱体接触和两平面接触的情况，其他情况以及具体推导过程请读者参阅接触力学的相关著作。

两弹性体之间的接触问题可用图2.1加以描述。两弹性体在线载荷P（单位：N/m）的作用下发生接触，接触半宽为a，此时，该问题为静止接触问题。当接触体受到切向牵引力Q和/或远端载荷σB的作用时，即变为初始滑动问题。

图2.1　Hertz接触模型

为了研究两物体间的接触问题，我们首先要定义能描述两接触物体几何形状的函数。如图2.2所示，规定在无变形的情况下，两物体相接触的点为坐标原点O，上、下两物体分别以下标1和2表示。选Oz轴为两表面在O点处的公法线方向，因此得到xOy平面为两表面的切平面。如果接触的两个面为轴线平行的圆柱面，则可规定y轴方向平行于圆柱面的轴线方向。在此坐标系中，两表面的未变形形状由以下函数确定：

图2.2　描述非协调接触的直角坐标系

因而，在加载之前它们间的间隔由下式给出：

h=z1-z2　（2.2）

Hertz接触理论的基本假设之一为两接触表面在接触点附近至少二阶连续，于是可以用如下形式的表达式来近似地表示原点附近的曲面：

式中，A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数。

在如图2.2所示的坐标系下，两曲面间的间隙由式（2.2）和式（2.3）可知

式中，A和B为正的常数，R'和R″为相对主曲率半径。

当两个圆柱由单位长度上的力P压紧而接触时，问题就变成二维问题。两圆柱间加载前表面对应点之间的间隙变成

式中，R1，R2为两接触面的曲率半径，定义等效曲率半径R*为

如图2.3所示，取两表面上的对应点S1和S2，如果变形后两点在接触面内重合，则

uz1+uz2+h=δ1+δ2=δ　（2.7）

利用式（2.5）可以得到两圆柱接触时弹性位移表达式(www.xing528.com)

若S1和S2位于接触区外时，两点不发生接触，则有

通过式（2.9）可以得到表面梯度的关系。于是

根据线载荷p（x）引起的表面梯度公式，可得

代入方程（2.10）得

图2.3　弹性圆柱体受法向载荷作用后的变形

式中，E*为两弹性体的等效弹性模量。

式中，E1，E2为两弹性体的弹性模量；ν1，ν2为两弹性体的泊松比。

通过求解该方程，可得到两圆柱面相接触时接触区半宽a的表达式

于是可得接触区的接触应力分布为

式中，p0为接触区的最大压力。

式中，pm为接触区的平均压力。

当接触问题变为圆柱面与弹性半空间（平面）相接触时，R*即圆柱半径。其他参数不变，可以应用以上公式对这一问题进行求解。