不稳定导热过程中，温度T与时间τ、空间坐标（x、y、z）的关系可用傅立叶导热微分方程来描述，即：
式中 α——热扩散率；
λ——热导率；
c——比热容；
ρ——密度。
式（7-1）是根据热量传递规律与能量守恒定律导出的，它适用于无内热源固体导热，也适用于静止的（无对流）液体的导热。式（7-1）的解为通解。为解某一具体问题，必须给出此问题的定解条件，包括初始条件和边界条件，才能求得具体问题的特解（定解）。在有些专门论述热量传输的著作中，把定解条件分成单值条件，单值条件包括：①几何条件（物体的形状，大小等）；②物理条件（c、ρ、λ等及其和温度的关系）；③时间（初始）条件τ=0时物体内各点的温度；④边界条件。
在不稳定导热情况下，导热微分方程的解具有非常复杂的形式。目前只能用来解决一些形状最简单（如平板、圆柱、球）的物体的不稳定导热问题。
下面以半无限大铸件在半无限大铸型中的冷却过程为例，运用导热微分方程求铸件和铸型的温度场。
假设：①铸件与铸型的接触面为平面；②铸件和铸型的材料都是均质的，其热扩散率近似地认为是不随温度而变的定值；③铸型的初始温度为T 20；④液态金属充满型腔后即停止流动，且各处温度均匀，即铸件的初始温度为T 10。
将坐标原点设在铸件与铸型的接触平面处。在这种情况下，铸件和铸型任意一点的温度t与y及z无关，是一维不稳定导热问题。式（7-1）变为：(www.xing528.com)
误差函数的性质是：
表7-2列出铸铁和铸型的热物理参数，供计算时选用。
对于铸件，将边界条件：x=0处，T 1=T i是铸件与铸型接触界面的温度；x=∞处，T=T 1∞，代入式（7-3），可求得铸件温度场。求得铸件—铸型温度场的示例如图7-1。
表7-1 误差函数
① erf（-β）=-erf（β）。
表7-2 铸铁和铸型的热物理参数
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