蒙特卡罗模型的应用与发展

薄膜材料的生长过程中，沉积原子主要发生的动力学过程包括：①沉积原子沉积到基底表面成为吸附原子（Adatoms）。②吸附原子的扩散，即在基底表面移动到能量相对稳定的位置。③吸附原子从基底表面脱附（Revaporation）。在应用蒙特卡罗模型来模拟薄膜生长的过程中最重要的就是要知道与上述三个动力学过程对应的速率，即沉积速率，扩散速率及脱附速率。

原子沉积速率R_d是指单位时间内沉积到单位基底表面的原子数^[2，3]，一般在沉积超薄膜的实验中，用单位时间所沉积的单层薄膜数来表示薄膜沉积速率F（单位：Monolayer/second，简称ML/s）。在实验中，人们也常常应用覆盖度的概念，覆盖度θ是指已覆盖的表面格点数与表面总格点数之比。如果基底有M×M个格点，则覆盖度定义为

θ=n/M²=Ft （4-1）

式中，n为已沉积的粒子数；t为沉积时间，且n=R_dt。

图4-1 六边形基底网格

为了限制薄膜生长过程中产生的各向异性，我们采用六边形基底网格来模拟薄膜的生长过程，如图4-1所示，即一个原子周围只有六个最近邻原子。

由于在本模型中考虑沉积、扩散及脱附为三种独立的动力学过程，并且只考虑亚单层薄膜的生长。如果发生的是沉积过程，我们就沉积一个原子于基底中的任意位置（i，j），若该位置中有原子占据，则找到其周围最近邻的六个位置，看是否有空位，若有空位，则随机选择一个空位占据，若没有空位，则随机选择其周围六个位置为新位置，再重复上述过程，直至找到一个空位。这个过程我们认为是沉积过程。当然，对于沉积过程还有不同的定义，如文献^[4]，在他们的模型中，如果沉积的原子位置已经有原子占据，则判断该位置周围是否有空位，如果有空位则扩散到该空位完成沉积过程，若没有空位，则将该原子作为第二层原子考虑来完成沉积过程。

而在发生扩散过程时，我们只随机选择一个吸附原子进行扩散，并且只允许扩散至空位。由于被选择的吸附原子受到周围原子的作用，它向周围最近邻的六个位置的扩散速率R_h通常表示为

R_h=Vhexp（-E_ijkl/k_BT） （4-2）

式中，T为基底的温度；k_B为玻耳兹曼常数；E_ijkl为吸附粒子从位置（i，j）扩散到位置（k，l）所需的驱动能。

刘祖黎等认为在六角形格子中V_h=k_BT/3h为基底两相对原子方向的平均振动频率，而在文献[5]中认为V_h=2k_BT/h。王恩哥则将V_h称为前因子，并且指出在通常的动力学蒙特卡罗模拟中选择为10¹²s^-1或者10¹³s^-1，由此可见，对于扩散前因子的选择还有必要进行深入的研究。本文在数值模拟过程中选用V_h为10¹²s^-1。

扩散过程中的驱动能E_ijkl包含三部分能量，即基底与吸附原子的结合能E_fs，吸附原子之间的结合能E_ff以及沿着扩散方向附近原子所产生的鞍点能E_L。几种典型的扩散过程中的驱动能的计算如图4-2所示。(www.xing528.com)

吸附原子的脱附速率R_e采用与扩散速率相近的表达式为

R_e=V_eexp（-E^e_ij/k_BT） （4-3）

式中，E^e_ij为吸附原子从基底位置（i，j）脱附所需克服的势垒。

图4-2 扩散过程中的驱动能的计算

它是由吸附原子与基底及周围原子相互作用决定的，即E^e_ij=E^e+mE_ff，这里E^e为孤立的吸附粒子从基底表面脱附所需要克服的势垒。m为（i，j）位置周围最近邻六个格点中被原子占据的格点数。

综上所述，可以得到完整的模拟过程。首先沉积一个原子，计算它的扩散速率R_h及脱附速率R_e，在实验中通常沉积速率R_d都是给定的，因此我们在模拟中给定沉积速率R_d为一常数。然后产生一个随机数来判断发生哪一种动力学过程：若发生的是沉积过程，则再沉积一个原子，完成沉积过程；若发生的是扩散过程，则要根据扩散原子的扩散速率随机找到哪个原子发生扩散，并且找到扩散的方向，使得该原子跃迁一步，完成扩散过程；若发生的是脱附过程，则根据原子的脱附速率随机选择一个原子去掉，完成脱附过程。由于我们假定这三个动力学过程是独立的，因此，可以定义总的速率为

式中，NH表示所有可能发生扩散过程的吸附原子个数；ne为其周围六个位置中未被吸附原子占据的格点数；R^k_h（N）表示吸附原子N向其周围六个最近邻位置k扩散的速率；NE表示所有可能发生脱附过程的吸附原子个数；R_e（N）表示的是吸附原子N的脱附速率。

如果发生的是沉积过程，概率为P_d，则按照上述的沉积过程沉积一个原子；若发生扩散过程，概率为P_h，则吸附原子跃迁一步，在这个过程中不仅要确定发生扩散的吸附原子N，而且要确定N的扩散方向k。它概率为P^k_h（N）；若发生脱附过程，概率为P_e，则去掉一个原子，在这个过程中要确定发生脱附的吸附原子N，它的概率为P_e（N）。发生上述过程的概率分别满足

每一步所用的时间Δt=1/R，则总的时间为t=∑Δt。依据上述各式就可以完成整个薄膜生长过程中的模拟。