回转切割体的投影解析

平面与回转立体相交的截交线是二者的共有线，一般是封闭的平面曲线，也可能是由截平面上的曲线和直线所围成的平面图形，其形状取决于回转体的几何特征及回转体与截平面的相对位置。

当截交线是圆或直线时，可借助绘图仪器直接作出截交线的投影。当截交线为非圆曲线时，则需采用描点作图，即先作出能确定截交线的形状和范围的特殊点，再作出若干个一般点，判断可见性，然后将这些共有点连成光滑曲线。所谓特殊点，包括曲面投影的转向轮廓线上的点，截交线上最高、最低点，最左、最右点，最前、最后点等。

1）圆柱切割体

根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，圆柱切割后其截交线有三种不同形状，见表4.1。

表4.1　平面与圆柱面的三种交线

当截平面与圆柱轴线平行时，其截交线为矩形；当截平面与圆柱轴线垂直相交时，其截交线为圆；当截平面与圆柱轴线倾斜相交时，其截交线为椭圆。

【例4.2】　求一斜切圆柱的截交线的投影，如图4.16所示。

图4.16　斜切圆柱的投影

分析：圆柱被正垂面P截断，由于截平面P与圆柱轴线倾斜，故所得的截交线是一椭圆。因截平面P在V面上的投影有积聚性，故截交线的V面投影应与PV重合（截交线的共有性）。圆柱面的H面投影有积聚性，截交线的H面投影与圆柱面的H面投影重合。所以，只需要求出截交线的W面投影。

作图：

①作截交线的特殊点。特殊点通常指截交线上一些能确定截交线形状和范围的特殊位置点，如最高、最低、最左、最右、最前和最后点，以及轮廓线上的点。对应椭圆首先应求出长短轴的四个端点。因长轴的端点A、B是椭圆的最低点和最高点，位于圆柱的最左、最右两条素线上；短轴两端点C、D是椭圆最前点和最后点，位于圆柱的最前、最后两条素线上。这四点在H面上的投影分别是a、b、c、d，在V面上的投影分别是a′、b′、c′、d′。根据对应关系，可求出在W面上的投影a″、b″、c″、d″。这些特殊点确定了椭圆的范围。

②求一般点。为了准确地作出截交线，在特殊点之间还需求出适当数量的一般点。如图4.16所示，在截交线的水平投影上，取对称于中心线的四点e、f、g、h，按投影关系可找到其正面投影e′、f′、g′、h′，再求出侧面投影e″、f″、g″、h″。

③依次光滑连接各点，即可得截交线的侧面投影。

2）圆锥切割体

平面与圆锥体表面的交线有五种情况，见表4.2。

表4.2　圆锥切割后截交线的形状

【例4.3】　求作被正平面截切的圆锥截交线，如图4.17（a）所示。

图4.17　正平面截切圆锥

解：截平面为不过锥顶但平行于圆锥轴线的正平面，其截交线是双曲线和直线围成的平面图形。截交线的水平投影和侧面投影都积聚为直线，只需求反映双曲线实形的正面投影。(www.xing528.com)

作图：

①求特殊点。点Ⅲ为最高点，位于最前素线上，点Ⅰ、Ⅴ为最低点，位于底圆上。可由其水平投影3、1、5及3″、1″、5″求得其正面投影3′、1′、5′。

②求一般点。在截交线已知的侧面投影上适当取两点的投影2″、4″，然后采用辅助纬圆在圆锥表面上取点，求得其水平投影2、4和正面投影2′、4′。

③依次光滑连接各点1′、2′、3′、4′、5′，即得双曲线的正面投影，如图4.17（b）所示。

3）圆球切割体

平面与球面的交线总是圆。如图4.18所示，是球面与水平面Q和侧平面P相交时，交线投影的基本作图方法。

图4.18　平面与球面交线的基本作图

【例4.4】　画出图4.19（a）所示立体的投影。

图4.19　球上开槽的画法

解：该立体是在半个球的上部开出一个方槽后形成的。左右对称的两个侧平面P和水平面Q与球面的交线是圆弧，P和Q彼此相交于直线段。

作图：先画出立体的三个投影后，再根据方槽的正面投影作出其水平投影和侧面投影。

①完成侧平面P的投影，如图4.19（b）所示。根据分析，平面P的边界由平行于侧面的圆弧和直线组成。先由正面投影作出其侧面投影，其水平投影的两个端点，应由其余两个投影来确定。

②完成水平面Q的投影，如图4.19（c）所示。由分析可知，平面Q的边界是由相同的两段水平圆弧和两段直线组成的对称图形。作水平投影时，要注意圆弧半径的求法。

【例4.5】　求作顶尖头部被截后的投影，如图4.20所示。

图4.20　顶尖头部的截交线

分析：顶尖是由轴线垂直于侧面的圆锥和圆柱组成的同轴回转体，圆锥与圆柱的公共底圆是它们的分界线，顶尖的切口由平行于轴线的水平面P和垂直于轴线的侧平面Q截切。平面P与圆锥面的交线为双曲线，与圆柱面的交线为两条直线；平面Q与圆柱的交线是一段圆弧；平面P、Q的交线为正垂线，如图4.20（a）所示。

作图：

（1）求作平面P与顶尖的截交线，如图4.20（b）所示。由于其正面投影和侧面投影有积聚性，故只需求出水平投影。首先找出圆锥与圆柱的分界线，从正面投影可知，分界点即为1′、2′，侧面投影为1″、2″，进而求出1、2。分界点左边为双曲线，其中1、2、3为特殊点，4、5为一般点，具体作图步骤同例4.3，读者可自己分析。分界点右边为直线，可直接画出。

（2）平面Q的正面投影和水平投影都积聚为直线，侧面投影积聚到圆周上的一段圆弧，可直接求出。

（3）判别可见性，将各点依次光滑连接并加深。