合力投影定理与平衡的平面汇交力系

（一）力在平面直角坐标系中的投影分解

在工程实际中，经常会遇到要把一个力沿两个已知方向分解，求这两个分力大小的问题。如图3-1-26（a）所示，设在平面直角坐标系xOy内有一已知力F，从F的两端A和B分别向x、y轴作垂线，其中ab为F在x轴上的投影，a b′′为F在y轴上的投影。假设当力的始端到末端投影的方向与坐标轴的正向相同时，投影为正，反之为负。图3-1-26（a）中力的投影均为正值，图3-1-26（b）中力的投影均为负值。力在坐标轴上的投影是代数量。

图3-1-26　力在直角坐标系中的投影

将F沿x、y坐标轴分解，所得分力xF、Fy，其值与F在相应坐标轴的投影值相等，其大小可用三角函数公式计算，设F与x轴的正向夹角为α，则图3-1-26（a）中的分力大小为

图3-1-26（b）的分力大小为

（二）合力投影定理

合力投影定理确定了合力的投影与分力的投影之间的关系。如图3-1-27（a）所示3个力1F、2F、3F组成平面汇交力系。应用三角形法则，各分力矢1F、2F、3F首尾依次相接后，得到合力矢为RF，如图3-1-27（b）所示，即

图3-1-27　合力的投影

根据投影定义，得

同理，将各力矢投影到y轴上，可得

显然，上述两式可应用于任意多个力的情况，如图3-1-28所示，即有

同理有

图3-1-28　平面汇交力系的合成

由此得出合力投影定理：力系合力在同一坐标轴上的投影，等于所有分力在同一坐标轴上投影的代数和。

应用余弦定理，可求出合力的大小和方向，即

式中 α—— 合力RF与x轴的夹角（°）。

（三）平面汇交力系的平衡方程(www.xing528.com)

平面汇交力系的平衡条件是力系的合力等于零。当合力为零时，有

即

由此可知，平面汇交力系平衡的必要和充分条件：力系中所有力在任选两个坐标轴上的投影的代数和为零。

式（3-1-12）即为平面汇交力系的平衡方程。

由于平面汇交力系有两个独立的平衡方程，因此只能求解两个未知量。

例 3-1-4 图3-1-29所示的平面汇交力系中，F1=10 kN，F2=16 kN，F3=8 kN，F4=12 kN，请问该力系是否为平衡力系？

解 根据合力投影定理，得合力在轴x，y上的投影分别为：

图3-1-29　平面汇交力系

所以该力系不是平衡力系。

（四）构件平面汇交力系的分析

用平面汇交力系平衡方程来求解构件平衡问题，要注意静力学分析方法的应用，对构件平面汇交力系分析的步骤和注意事项如下：

（1）选择作为研究对象的构件。此时应注意：所选择的构件应作用有已知力（或已经求出的力）和未知力，这样才能应用平衡方程由已知力求得未知力；先以受力简单并能由已知力求得未知力的构件作为研究对象，然后再以受力较为复杂的构件作为研究对象。

（2）取分离体并画受力图。作为研究对象的构件确定之后，进而需要分析受力情况，为此需将该构件从其周围物体中分离出来。根据所受的外载荷画出分离构件所受的主动力，根据约束性质画出分离构件上所受的约束反力，最后得到构件的受力图。

（3）选取坐标系，计算力系中所有的力在坐标轴上的投影。坐标轴可以任意选择，但应尽量使坐标轴与未知力平行或垂直，可使力的投影简化，同时使平衡方程中包含最少的未知量，避免解联立方程。

（4）列平衡方程，求解未知量。若求出的力为正值，则表示受力图上假设力的方向与实际方向相同；若求出的力为负值，则表示受力图上力的假设方向与实际方向相反，在受力图上不必改正，在答案中要说明。

例3-1-5 支架ABC由横杆AB与支撑杆BC组成，如图3-1-30（a）所示。A、B、C处均为铰链连接，B端悬挂重物，其重力G=10 N，杆重不计，试求支架处于平衡时两杆所受的力。

解 （1）选择作为研究对象的构件，以销B为研究对象。

（2）进行受力分析并画受力图。由于AB、BC杆自重不计，杆端为铰链，故均为二力杆，两端所受力的作用线必为过直杆的轴线。根据作用力与反作用力的关系，约束力F1、F2作用于B点，此外，绳子的拉力F（大小等于物体的重力）也作用于B点，F1、F2、F组成的平面汇交力系及其受力如图3-1-30（b）所示。

图3-1-30　支架构件的受力分析

根据二力平衡和作用力与反作用力公理，可分析得F=G=10 N。

（3）列平衡方程，求出未知力。以点B为坐标原点，建立直角坐标系，如图3-1-30（c）所示，根据合力投影定理，可列平衡方程如下：

联解①、②式方程，解得F1=17.32 N，F2=20 N。