点是最基本的几何要素，为了迅速而正确地画出物体的三视图，必须掌握点的投影规律。例如图3-4（b）所示的正三棱锥，是由△SAB、△SBC、△SCA、△ABC四个棱面所组成，各棱面分别交于棱线SA、SB、…，各棱线汇交于顶点A、B、C、S，显然，绘制三棱锥的投影图，实质上就是画出这些顶点的各面投影，然后依次连线而成，如图3-4（a）所示。
点的表示法：空间点用大写字母或罗马数字，例如A、B、C或Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ…；水平投影用相应的小写字母或相应的阿拉伯数字，如a、b、c或1、2、3…；正面投影用相应的小写字母或相应的阿拉伯数字a′、b′、c′或1′、2′、3′…；侧面投影用相应的小写字母或相应的阿拉伯数字，如a″、b″、c″或1″、2″、3″…。
图3-4 物体上点的投影分析示例
3.1.2.1 三投影面体系的建立
三投影面体系由三个相互垂直的投影面所组成，如图3-5所示。
三个投影面分别为：
正立投影面，简称正面，用V表示；
水平投影面，简称水平面，用H表示；
侧立投影面，简称侧面，用W表示。
相互垂直的投影面之间的交线，称为投影轴，它们分别是：
OX轴（简称X轴），是V面与H面的交线，它代表长度方向；
OY轴（简称Y轴），是H面与W面的交线，它代表宽度方向；
OZ轴（简称Z轴），是V面与W面的交线，它代表高度方向。
三根投影轴相互垂直，其交点O称为原点。
为了画图方便，需将互相垂直的三个投影面摊平在同一个平面上。规定：正立投影面保持不动，将水平投影面OX轴向下旋转90°，将侧立投影面绕OZ轴向右旋转90°，分别重合到正立投影面上。应注意：水平投影面和侧立投影面旋转时，OY轴被分为两处，分别用OYH（在H面上）和OYW（在W面上）表示，如图3-6所示。
图3-5 三面投影体系
图3-6 三投影面体系的展开
3.1.2.2 点的三面投影
如图3-7所示，求点A的三面投影，就是由点A分别向三个投影面作垂线，则其垂足a、a′、a″即为点A的三面投影图。如将投影面摊平在一个平面上，便得到点A的三面投影图，如图3-7（b）所示。图中ax、ayh、ayw、az分别为点的投影连线（用细实线绘制）与投影轴X、Y、Z的交点。
通过点的三面投影图的形成过程，可总结出点的投影规律：
（1）点的两面投影的连线，必定垂直于相应的投影轴。即：
aa′⊥OX，a′a″⊥OZ，而aayh⊥OYh，a″ayw⊥OYW。
（2）点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应的投影面的距离，即“影轴距等于点面距”。
a′ax=a″ayw=A点到H面的距离Aa；
图3-7 点的三面投影
（a）点在三面投影体系中的投影；（b）展开图
aax=a″az=A点到V面的距离Aa′；
aayh=a′az=A点到W面的距离Aa″。
3.1.2.3 点的投影与直角坐标的关系
点的空间位置可用直角坐标来表示，如图3-8所示。即把投影面当作坐标面，投影轴当作坐标轴，O即为坐标原点。则：
A点的X坐标xA等于A点W面的距离Aa″；
A点的Y坐标yA等于A点到V面的距离Aa′；
A点的Z坐标zA等于A点到H面的距离Aa。
点A坐标的规定书写形式为：A（xA，yA，zA）。
例1 已知点A（20，10，30），求作它的三面投影图。
作法1（图3-9（a））
（1）作投影轴OX、OYH、OYW、OZ；(www.xing528.com)
（2）在OX轴上由O点向左量取20，得ax点；在OYH、OYW轴上由O点分别向下、向右量取10，得出ayh、ayw；在OZ轴上由O向上取30，得出az；
（3）过ax作OX轴的垂线，过ayh、ayw分别作OYH、OYW轴的垂线，过az作OZ轴的垂线；
（4）各条垂线的交点a、a′、a″，即为A点的三面投影。
作法2（图3-9（b））
（1）作投影轴OX、OYH、OYW、OZ；
（2）在OX轴上由O点向左量取20，得ax点；
（3）过ax作OX轴的垂线，并沿垂线向下量取10，得axa=10，向上量取30，得a′；
（4）根据a、a′，求出第三投影a″。
图3-8 点的投影与坐标的关系
图3-9 根据点的坐标作投影图
3.1.2.4 两点的相对位置
两点在空间的相对位置，由两点的坐标差来确定，如图3-10所示。
两点的左、右相对位置由x坐标差（xA-xB）确定。由于xA＞xB，因此点B在点A的右方；
两点的前、后相对位置由y坐标差（yA-yB）确定。由于yA＜yB，因此点B在点A的前方；
两点的上、下相对位置由z坐标差（zA-zB）确定。由于zA＞zB，因此点B在点A的下方；
故点A在点B的左、后、上方，反过来说，就是B点在A点的右、前、下方。
如图3-11所示A、B两点的投影中，a和b重合，这说明A、B两点的x、y坐标相同，xA=xB、yA=yB，即A、B两点处于对水平面的同一条投射线上。
图3-10 两点相对位置
图3-11 重影点的可见性判断
可见，共处于同一条投射线上的两点，必在相应的投影面上具有重合的投影，这两个点被称为对该投影面的一对重影点。
重影点的可见性需根据这两点不重影的投影的坐标大小来判别。即：
当两点在V面的投影重合时，需判别其H面或W面投影，则点在前（y坐标大）者可见；
当两点在H面的投影重合时，需判别其V面或W面投影，则点在上（z坐标大）者可见；
若两点在W面的投影重合时，需判别其H面或V面投影，则点在左（x坐标大）者可见；
如图3-11所示中，a、b重合，但正面投影不重合，且a在上b在下，即zA＞yB。所以对H面来说，A可见，B不可见。在投影图中，对不可见的点，需加圆括号表示。如图3-11所示中，对不可见点B的H面投影，加圆括号表示为（b）。
例2 在已知点A（20，20，10）的三面投影图上（图3-12），作点B（30，10，0）的三面投影，并判断两点在空间的相对位置。
分析：点B的z坐标等于0，说明点B属于H面上，点B的正面投影b′一定在OX轴上，侧面投影b″一定在OYW轴上。
作图：在OX轴上由O点向左量取30，得bx（b′重合于该点），由bx向下作垂线并取bxb=10，得b。根据作出的b、b′，即可求得第三投影b″，如图3-13所示。应注意，b″一定在W面的OYW轴上，而绝不在H面的OYH轴上。
图3-12 点A的三面投影
图3-13 点A、B两点的三面投影
判别A、B两点在空间的相对位置：
左、右相对位置：xB-xA=10，故点A在点B右方10 mm。
上、下相对位置：zA-zB=10，故点A在点B上方10 mm；
前、后相对位置：yA-yB=10，故点A在点B前方10 mm；
即点A在点B的右、前、上方各10 mm处。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
