非线性函数的中误差关系式及导出方法

非线性函数即一般函数,其形式为

式中:x1,x2,…,xn为n个独立观测值。

对式(6-13)取全微分,得

因误差、ΔZ都很小,故上式d xi、d Z可以用、ΔZ代替,于是有

式中是函数Z对各自变量的偏导数,以观测值代入,所得的值为常数,因此式(g)是线性函数的真误差关系式,仿式(6-12),得函数Z的中误差为

常用函数的中误差关系式均可由一般函数中误差关系式导出,现将线性函数与一般函数中误差关系式列表,见表6-2。

表6-2　观测函数中误差

应用误差传播定律求观测值函数的中误差时,首先应根据问题的性质列出函数关系式,然后按表6-2中相应的公式来求解。应注意的是,各观测值必须是独立观测值,即函数式等号右边的各自变量是相互独立的,不包含共同的误差,否则应进行同类项合并处理。

【例6-2】 在1∶2000比例尺的地形图上量得某线段长度为162.4mm,其中误差md=±0.1mm,求该线段的实际长度D及其中误差mD。

解：

D=Md=2000×162.4=324.8(m)

mD=kmd=2000×(±0.1)=±0.2(m)

最后结果写为

D=324.8m±0.2m

【例6-3】 自水准点BM1向水准点BM2进行水准测量,如图6-4所示,设各段所测高差及中误差分别为

h1=+3.584m±5mm；(www.xing528.com)

h2=+5.234m±4mm；

h3=+7.265m±3mm。

求:BM1、BM2两点间的高差及其中误差。

解：BM1、BM2之间的高差h=h1+h2+h3=16.083(m),两点间高差中误差为

图6-4　水准路线中误差算例图

图6-5　点位中误差示意图

【例6-4】 一直线AB的长度D=215.463m±0.005m,方位角α=119°45′00″±6″,求直线端点B的点位中误差(图6-5)。

解：坐标增量的函数式为Δx=D cosα,Δy=D sinα,设mΔx、mΔy、mD、mα分别为Δx、Δy、D及α的中误差。将以上两式对D和α求偏导数,得

由式(6-14)得

由图6-4可知B点的点位中误差为

故

将mD=±5mm,mα=±6″,ρ=206265″,D=215.463m代入上式得