数学形态学滤波算法优化改进方法

1. 数学形态学的原理

德国斯图加特大学的Lindenberger(1993)首次将数学形态学理论应用于点云数据的滤波中。其主要思想是：首先选取一个固定大小的数据窗口，利用这个窗口在所有的数据区域内移动，运用数学形态运算计算出该窗口内的高程最低的激光脚点。然后设定一个固定的高程阈值，对位于窗口中的激光脚点进行判断。如果这个窗口内的激光脚点的高程在设定的高程阈值内，则将其划分为地面点。如果激光脚点不在阈值范围内，则将其判定为地物点。判别完这个窗口的数据后，继续移动窗口，当所有数据被完全遍历，结束运算。Weidner 在1995 年研究出了一种针对点云数据灰度值的数学形态学滤波算法。Kilian 等人在利用开运算滤掉非地面点时，根据窗口尺寸大小赋给地面点一定的权值，然后进行滤波运算(周晓明，2011)。

数学形态法是一种基于固定窗口区域的滤波算法，它是一种自上而下、由局部区域开始逐步扩展到整个数据区域的滤波方法。数学形态学的基本运算有：腐蚀、膨胀、开运算和闭运算。在LiDAR 点云数据获取规则化DSM 的过程中，对其做如下定义：

式(11-1)和式(11-2)中，f 是规则化DSM；g 为结构元素即窗口，可定义为矩形或圆盘形的结构元素；Z(i，j)为腐蚀或膨胀运算后得到规则DSM 的第i 行、第j 列的高程值；w 为结构元素的窗口；Z(s，t)为原始规则化DSM 的第s 行、第t 列的高程值。

在完成腐蚀和膨胀运算后，然后利用开运算和闭运算对点云数据进行处理：

开运算首先进行腐蚀运算，将比结构元素g 尺寸小的点云数据(如树木点等)从点云数据中移除，然后进行膨胀运算来恢复被腐蚀掉的大型地物(如人工建筑物)的边界。当选定的窗口固定时，不能够将所有大小不一的非地面点滤除。当窗口过小时，只会把较小的地物的激光脚点(如汽车、树木等)滤除，但是较大的地物的激光脚点(如城区建筑物等)则会被保留下来。所以一般情况下利用多尺度的滤波窗口进行迭代运算，在迭代运算过程中不断增大滤波窗口，以去除不同尺寸的地物。

在进行迭代运算时，滤波窗口gk按指数形式增长：gk=2bk+1，其中k=1，2，…，M，为迭代次数，设定b 为初始窗口尺寸大小。为了确保区域内地物被全部剔除，在进行最后一次迭代时，窗口大小必须大于数据区域的最大建筑物的尺寸。在迭代过程中设置高差阈值d hT，K，用以保留地形细节。(www.xing528.com)

式中，c 为DSM 格网间距；d h0和d h max分别为最小和最大的高差阈值；s 为地形坡度参数。当DSM 格网点的开运算前后的高程值之差小于本次迭代的高程阈值时，该点被认定为地面点。反之，该激光脚点为非地面点(沈晶等，2011)。

在利用数学形态算法进行滤波时，需要对原始的离散点云数据进行内插，成为规则的格网。这样会使许多重要的地形信息丢失，虽然提高了数据滤波的速率，但是会造成滤波精度降低，重要信息缺失，对后续数据处理和产品的精度造成影响。

2. 数学形态学的优缺点与发展

数学形态学方法利用数学中的集合理论来研究点云数据，把数据中的地物看作一个集合。定义于集合X 和集合B 中，其中集合X 是研究数据的集合(即点云数据)，集合B 称为结构元素，它的基本运算就是在这两个集合之间展开的。结构元素是数学形态学的核心，利用结构元素可以对整体数据进行滤波，它可以根据数据区域中地物的大小进行调节，以保证所有的地物都被滤除(Zhang et al.，2003)。

数学形态学滤波方法具有非常完善的数学原理，而且算法流程简单，易于操作。由于采用一定的窗口来对整个数据区域进行遍历，导致滤波效果受所选择的滤波窗口尺寸大小影响很大。数学形态学滤波方法采用了规则格网对数据进行组织，使得该算法在地形起伏较大的测区不能够获取较好的效果，故滤波窗口大小的选择决定了该算法的滤波效果。当滤波窗口尺寸较小时，滤波之后能够获取绝大部分的地面点，对于地物点只能够滤除较小的地物点(如汽车、电线杆等)，而那些尺寸较大的建筑物上的激光脚点则被保留下来，使滤波效果很差；反之，如果滤波窗口尺寸很大，则会滤除很多地形特征，使得滤波后的地表地形太过平滑。理想情况是：滤波窗口的尺寸不仅要满足能够滤除所有的地物点的条件，还要保证所有的地形特征都能够完全保留下来。显然，这种滤波窗口是不可能存在的。在滤波窗口选择问题上，许多研究人员做了大量的研究和实验。2003 年，Keqi Zhang等人(2003)提出了基于多尺度的数学形态学滤波方法。首先将数据规则格网化，然后确定一个合理尺寸的原始滤波窗口，依据设定的高差阈值进行开运算，依据研究区中的地形变化以及地物尺寸和分布情况，逐渐增大滤波窗口的大小和对应的高差阈值，当滤波窗口的尺寸大于研究区内的最大的建筑物尺寸时，滤波结束，完成计算。

在国内一些学者也分别提出了不同的改进算法。梁欣廉等(2008)提出一种适用于城市区域的自适应形态学滤波方法。罗伊萍等(2009)对数学形态学滤波算法进行了改进，提出一种具有一定自适应性的多尺度数学形态学滤波算法。该方法首先将点云数据构建TIN，获得测区的地形特征，然后根据测区地形特征来选择合适的地形坡度参数，把该参数应用于算法中高差阈值的计算。近两年，也有学者提出了一些改进的算法，例如隋立春等(2010)将“带宽”引入形态学算法，将其作为参数和约束条件用于滤波。