证明应力应变顺序对应规律的应用优化方案

图6-21 f与材料屈强比的关系

1.应力应变顺序对应规律及其证明

前述增量理论及全量理论都能直接给出应力偏量与应变增量或全量之间的定量关系，但是物体内的应力分布通常很难定量给出，即使知道了应力张量还要求出应力偏张量进而求出应变全量（按形变理论），计算是相当复杂的。如果按增量理论计算还需对已求出的应变增量进行积分，其计算量更大。当然，借助计算机和完善的分析软件还是可以实现的，但由于一些计算条件还不是很准确，如摩擦模型，受很多因素影响，适合于不同条件下的数学模型还未给出，要精确计算也很难办到。另一方面，从工程角度来看，对于一些繁杂的问题，即便能给出定性的结果也很可贵，具体的定量问题可以从试验中进一步探索。王仲仁考虑到塑性成形理论中应力应变关系阐述上存在的一些问题，吸取了增量理论及全量理论的共同点，提出了应力应变顺序对应规律，并使该规律的阐述逐渐简明和便于应用。

塑性变形时，当应力顺序σ₁＞σ₂＞σ₃不变，且应变主轴方向不变时，则主应变的顺序

与主应力顺序相对应，即ε₁＞ε₂＞ε₃（ε₁＞0，ε₃＜0）。当的关系保持不变时，相应地有。

这个规律的前一部分是“顺序关系”，后一部分是“中间关系”。其实质是将增量理论的定量描述变为一种定性判断。它虽然不能给出各个方向的应变全量的定量结果，但可以说明应力在一定范围内变化时各方向的应变全量的相对大小，进而可以推断出变形体尺寸的相对变化。现证明如下：

在应力顺序始终保持不变的情况下，例如σ₁＞σ₂＞σ₃，则偏应力分量的顺序也是不变的，即

（σ₁-σ_m）＞（σ₂-σ_m）＞（σ₃-σ_m） （6-31）

Lévy-Mises应力应变方程对于主应力条件可以写成如下形式

将式（6-32）代入式（6-34）可得

dε₁＞dε₂＞dε₃ （6-33）

对于初始应变为零的变形过程，可视为由几个阶段所组成，在时间间隔t₁中，应变增量为

在时间间隔t₂中同理有

在时间间隔t_n中也将有

由于主轴方向不变，各方向的应变全量（总应变）等于各阶段应变增量之和，即

ε₁＝∑dε₁

ε₂＝∑dε₂

ε₃＝∑dε₃

由于始终保持σ₁﹥σ₂，故有，，…，，且因为dλ₁，dλ₂，…，dλ_n皆大于零，于是式（6-34）右端恒大于零，即ε₁＞ε₂。同理有ε₂＞ε₃，因此可得

ε₁＞ε₂＞ε₃

即“顺序对应关系”得到证明。又根据体积不变条件

ε₁+ε₂+ε₃＝0 （6-35）

因此，ε₁必定大于零，ε₃必定小于零。

至于沿中间主应力σ₂方向的应变ε₂的符号需根据σ₂的相对大小来定，在前述变形过程的几个阶段中，ε₂的计算公式为

若变形过程中保持（即σ₂﹥σ_m）时，由于dλ₁＞0，dλ₂＞0，…，dλ_n＞0，则式（6-36）右端恒大于零，即ε₂＞0。同理可证，当（即σ₂＜σ_m）时，ε₂＜0。以及（即σ₂＝σ_m）时，ε₂＝0。

汇总起来，即当（即），将有。应当强调以上证明是根据

增量理论导出的全量应变的定性表达式，不应误认为是从全量理论导出的。

进一步分析可以看出中间关系是决定变形类型的依据。现在来分析中间应

力对应变类型的影响。所谓应变类型实际上就是前面所提的伸长类应变（ε₁﹥

0，ε₂＜0，ε₃＜0）、平面应变（ε₁＞0，ε₂＝0，ε₃＜;0）及压缩类应变（ε₁＞0，ε₂＞0，ε₃＜0）三种。

1）当σ₂-σ_m＝0时，即时，ε₂＝0，应变为平面应变。

2）当σ₂-σ_m﹥0时，即时，ε₂﹥0，应变状态为ε₁﹥0，ε₂＞0，ε₃＜0，属于压缩类变形。(www.xing528.com)

3）当σ₂-σ_m＜0时，即时，ε₂＜0，应变状态为ε₁﹥0，ε₂＜0，ε₃＜0属于伸长类变形。

用罗德系数及应力莫尔圆也很容易说明中间应力的影响，例如σ₂在范围内变化，即相对接近于σ₁（见图6-22），这时将有0≤μσ≤1，则不管σ₂数值如何，它仅影

σ响应变增量的比例关系，并不改变应变类型为压缩类的性质。或者σ₂在σ₃～范围内变化，即相对接近于σ₃（见图6-23），这时-1≤μσ≤0，则不管σ₂的数值如何，它仅影响应变增量的比例，并不改变应变为伸长类的性质。因此，在同类应变状态下的积累并不改变应变类型。

图6-22 中间主应力接近σ₁时产生压缩类变形

图6-23 中间主应力接近σ₃时产生伸长类变形

图6-24 薄壁管内压和轴向加载试验

从根本上来说，如果验证了增量理论，也就等于验证了应力应变顺序对应规律，但为了更充分说明此问题，王仲仁及朱宝泉专门做了针对性实验。实验是用Sn-Pb共晶合金的薄壁管进行的（见图6-24），在管内通油压p，沿管的轴向加拉力或压力P，两者都通过传感器由应变仪放大并在x-y记录仪上记录。轴向应变ε₂和环向应变ε₃用两套系统测量，小应变量利用贴在试件上的应变片测定，大应变通过弹性夹持引伸仪测定。

试验所得曲线如图6-25和图6-26所示。图6-25所示是拉压复合应力状态下所得的试验曲线，这时的应力顺序σ_θ＞σ_t＞σ_z（σ_t＝0），σ₁＝σ_θ，σ₂＝σ_t，σ₃＝σ_z。试验时让切向应力σ_θ的绝对值也大于轴向应力，即|σ_θ|＞|σ_z|。从图6-25中可以看出，不管应力的比例如何变化，甚至|σ_z|曾出现过由增至减的情况，但应变全量ε_θ始终大于零，ε_z总小于零，不仅代数值如此，而且绝对值也是|ε_z|＜|ε_θ|，由体积不变条件ε_z+ε_θ+ε_t＝0，可见ε_t也为负号，其绝对值略小于|ε_z|，于是存在对应关系：σ_θ＞σ_t＞σ_z，相应地有ε_θ＞ε_t＞ε_z，而且如图6-25所示，从整个加载过程来看，中间主应力（σ_t＝0）在数值上相对更接近σ_z，满足的关系，所以ε_t也相应地接近ε_z，即ε_t＜;0，ε_z＜;0，ε_θ﹥0，故应变状态为伸长类（径向尺寸增加，高度减小，厚度减薄）。

图6-26所示为双向拉应力状态下的应力应变曲线。这时不仅σ_θ及σ_z不保持比例，而且出现了顺序急剧变化的情况，对比实际的塑性加工工序，这种变化是有些夸张的或相当于不同的两个过程。在A点以前，σ_θ＞σ_z＞σ_t，这时ε_θ＞ε_z＞0，由体积不变条件可知，ε_t＜0。于是有ε_θ＞ε_z＞ε_t，即顺序对应。在A点以后一个阶段，出现了σ_z＞σ_θ＞σ_t，但ε_z＞ε_θ＞ε_t的情况并未随即发生，即应变全量的变化滞后于应力的变化。这是由于在A点所对应的ε_zA＜ε_θA，虽然这以后σ_z＞σ_θ，起初一段时间，在逐渐缩小应变ε_θ与ε_z之间的差值，达到B点附近ε_z＝ε_θ，此后才有ε_z＞ε_θ，但若以A点作新的起点，取ε′_z＝ε_z-ε_zA及ε′_θ＝ε_θ^-εθA，则仍然有对应关系σ_z＞σ_θ＞σ_t，ε′_z＞ε′_θ＞ε′_t。即只要保持应力顺序不变，尽管应力比值变化，应力顺序也不变。如果发生应力顺序变化，则应分阶段来考虑，对于每一阶段务必使应力顺序保持不变。现在再来考察中间主应力对应变类型的影响，在A点以前这一段，中间主应力t，相应地有ε_z＞0，即满足中间关系，应变ε_θ＞0，ε_z＞0，ε_t＜;0，为压缩类。对于A点以后，B点以前的阶段，σ_θ为中间主应力且由于，若除去初应变ε_zA及ε_θA的影响，如图所示，ε′_θ＞0，即应变类型（ε′_z＞0，ε′_θ﹥0，ε′_t＜;0）与应力性质的对应仍为压缩类，不过这时ε_t已由ε_θ变为ε′_z了。可见对于每个阶段来说，若将前一阶段引起的应变“归零”，则在该阶段根据中间主应力的相对大小仍然可以判断应变类型。

图6-25 拉压应力状态下的应力应变曲线

图6-26 双向拉应力状态下的应力应变曲线

上述规律是基于增量理论导出的，而且进行了初步实验验证，在某种程度上可以理解为对偏离简单加载、应力比例变化，但不引起应变类型变化而对应变全量的定性估测。这个规律并不以塑性加工为基础，因而其适用范围并不局限于塑性加工。为了便于工程实际的应用，建议用以下通俗的表达形式。

塑性变形时物体各部分（在每部分应力状态相似）的尺寸将在最大应力（按代数值，拉为正，压为负）的方向相对增加得最多，并在最小应力的方向相对减少得最多，沿中间主应力方向的尺寸变化趋势与该应力的数值接近于最大或最小应力相对应。这里所说的“尺寸相对变化”就是前述的应变全量。对于特定的条件，上述规律还可以简化，即在三向压应力状态下，沿应力绝对值最小的方向应变最大，或沿应力绝对值最小的方向尺寸相对增加得最多。

2.应力应变顺序对应规律的应用

正像形变理论本应严格用于比例加载条件而实际上可以放宽使用范围一样，应力应变顺序对应规律作为一种定性描述有其推证的前提，即：①主应力顺序不变；②主应变方向不变。

但在实际应用时也可以适当地放宽，其检验标准就是实验数据。反过来说，如果离开前提太远，应用出入很大也是自然的，这属于运用不当。以下结合具体塑性成形工序进行分析，并给出实例。对于板料冲压，如拉深、缩口、胀形、扩口及薄管成形等工序，上述两个条件当然满足，所以能应用该规律分析应变及应力问题，对于三向应力在作适当简化以后也可以用该规律进行分析。顺序对应规律的应用无非是由应力顺序判断应变顺序及尺寸变化趋势，或由应变顺序判断应力顺序，前者将在以后专门叙述，现在先来阐述后一问题。

有些问题比较直观，根据宏观的变形情况可以直接推断应力顺序。例如在静液压力下的均匀镦粗（见图6-27），在变形体中取一单元体，设其受径向压力σ_r及轴向应力σ_z，这时σ_r及σ_z都是压应力。哪一个大呢？可以从产生变形的情况反推应力的顺序，因为应变为镦粗类，即轴向应变ε_z＜0，对于实心体镦粗，可以证明径向应变与切向应变相等，即ε_r＝ε_θ＞0，所以必有σ_θ＝σ_r＞σ_z。以上是就代数值而言，因为是三向压应力，所以就绝对值来说，σ_z＞σ_r。

这时由于是单向压缩变形，罗德参数μ_σ＝1，中间主应力的影响系数β＝1，应力顺序已知，对静液压下压缩（见图6-27a）的屈服准则表达式则为

σ_r-σ_z＝Y （6-37）

如果在静液压包围下拉伸（见图6-27b），则情况正相反。轴向应力的代数值σ_z大于径向应力的数值σ_r，即

σ_z＞σ_r，σr＝σθ

由于此时μ_σ＝-1，对静液压拉伸的屈服准则表达式可以写成如下形式

σ_z-σ_r＝Y （6-38）

又如平冲头压入半无限大空间（见图6-28）变形波及冲头附近的A点。A点的各方向应力顺序也可由应变顺序反求。由于A点向上隆起，沿高度方向为伸长应变，与纸面垂直的方向为平面应变，冲头下金属沿水平方向横流，A点横向为压缩应变，所以应力顺序为σ_h＞σ_w＞σ_l，由于是三向压缩应变，其绝对值顺序为|σ_h|＜|σ_w|＜|σ_l|。

图6-27 静液压力下的均匀镦粗和拉伸简图

a）镦粗 b）拉伸

图6-28 平冲头压入半无限大空间时A点的应变和应力顺序

对于复杂变形过程，特别是三向压应力时区分应力的相对顺序是比较困难的。以往由于离开应变的顺序来分析应力，因此对同一变形过程如挤压往往有不同的分析。例如有人认为正挤压时，变形金属的任一点都是径向应力σ_r小于轴向应力σ_z（代数值是σ_r﹥σ_z），也有人认为应该|σ_z|小于|σ_r|，甚至还有人认为σ_z等于σ_r，笼统地分析就不易说清楚。对于类似的问题，可以采用以下步骤定性地得出应力顺序。

1）根据实际变形情况，将变形体粗略地分成几个区，在每个区内的各单元仅产生类似的应变（伸长类或压缩类）——用网格实验可以帮助达到这一目的。

2）根据变形特征可以定性地分析应力的相对大小。

3）如果变形过程中的不同阶段变形体某一部位发生性质不同的应变（例如由伸长类变压缩类），这时的应力顺序则宜分阶段进行。