各向同性屈服准则优化

屈服准则是有关金属弹性极限状态的一种假说。金属由弹性变形转变为塑性变形，主要取决于以下两个方面的因素：

1）在一定变形条件（变形温度与变形速度）下金属的物理性质。

2）金属所处的应力状态。

第一种因素是转变的根据，第二种因素是转变的条件。对于一定的材料，在一定的变形温度与变形速度下，屈服完全取决于金属所处的应力状态。当应力分量的组合满足以下函数关系

f（σ_ij）＝c （1-5）时，应力状态所构成的外部条件与金属屈服时的内在因素恰好相符，金属即从弹性变形转变为塑性变形。

对于上述规律的探索，除了从金属的微观世界寻求物理根据外，主要依靠实验和在实验基础上的逻辑推断。因而产生了有关屈服准则的各种假说，然而经过实践验证，获得公认的只有两种，即Tresca准则和Mises准则。

1.Tresca准则——最大切应力理论

1864年，Tresca在金属的挤压试验中，观察到金属塑性流动的痕迹与最大切应力的方向一致，提出了最大切应力理论。1870年Saint-Venant将此理论作了进一步发展，提出了这一理论的数学表达方法。

最大切应力理论可以表述如下：在一定的变形条件下，金属的塑性变形只有当物体内的最大切应力达到一定值时才有可能发生，这个数值视物体的种类而定，与应力状态无关。

假设任一应力状态σ_ij，如果主应力的大小次序尚未确定，则微元体内可能发生的最大切应力为

在这3对主切应力中，任一者最先达到某一定值，材料即开始屈服。但因为它们的代数和必须为零，所以同时达到某一定值的主剪应力最多只能有两个（符号相反，绝对值相等），而第3个主切应力必定为零。

又因屈服准则与应力状态无关，确定此定值时可以利用一种最简单的应力状态，如通过单向拉伸。单向拉伸时，拉应力σ＝σ_s（σ_s为材料的单向拉伸屈服应力，部分标准中σ_s已被R_eL代替，但此处仍沿用），金属即开始屈服。这时最大切应力为

因此，在复杂应力状态下，只要3对主切应力中任何一个或最多两个的数值等于，金属即开始屈服，于是最大切应力理论可表示为

若用主应力表示，则为

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最大切应力理论虽然可以很简单地表述金属的屈服条件，但在实际问题中，应力分量是未知的，难以确切判断其大小次序，因而也就难以从以上三式中作出正确选择，给实际应用带来了困难。能否用一个统一的连续函数将以上三式加以概括？当然，这种概括是否正确，最终还必须通过实践的检验。

图1-4 主切应力等于常数的几何图形

2.Mises准则

1913年，Mises从纯粹的数学观点出发，对Tresca准则提出了一个修正。他以主切应力为坐标轴，将式（1-9）表示为一个正六面体，此六面体各棱边边长为σ_s，其重心恰为坐标原点。主切应力等于常数的几何图形如图1-4所示。因为3个主切应力之和必须满足τ₁₂＋τ₂₃＋τ₃₁＝0，该式代表通过原点与3个坐标轴成等倾角的平面。此平面与正六面体的交线为一正六边形，顶点A、B、C、D、E、F恰为正六边形中6条棱边的中点（见图1-4）。满足Tresca准则的应力状态，其3个主切应力都在这六条边上；换言之，此六边形即代表Tresca准则的图形。可以看出：此正六边形的边长为。

Mises提出：为了便于数学运算，可用连续曲线来代替正六边形。此连续曲线即正六边形的外接圆，其方程为

在式（1-11）中，第一式代表圆心为原点，半径为σ_s/2的圆球；第二式为通过原点与坐标轴成等倾角的平面。式（1-11）为它们的交线，将主切应力用主应力表示，则式（1-11）变为

（σ₁-σ₂）²＋（σ₂-σ₃）²＋（σ₃-σ₁^）2＝2σ²_s （1-11）

Mises在对Tresca准则作出以上修正的同时指出：当前（指1913年以前）对Tresca准则的试验验证，还只限于正六边形的6个角点，其余应力状态究竟如何尚待验证。虽然如此，他仍然认为Tresca准则是准确的，而他的修正则是近似的。后来许多人的试验却证明Mises准则更加接近韧性材料的实际情况。

1924年，H.Hencky给出了Mises准则的物理意义：材料开始屈服时所吸收的弹性形变能为一常数，这就是所谓常数形变能量理论。即

U_ϕ＝常数

1937年，A.Nadai对Mises准则作了另一解释：材料开始屈服时其八面体切应力为一常数。即

τ₈＝常数

Mises准则的另一常用表述形式为：材料进入屈服状态时，等效应力等于单向拉伸屈服应力。即

这就是А.А.Ильюшин提出的应力强度一定理论。这一理论将复杂的应力状态与单向拉伸这种简单的应力状态直接联系了起来。等效应力既可作为各种应力状态的一种可比指标，又可将其理解为材料在复杂应力状态下塑性变形的变形抵抗力。这就给人们研究复杂应力状态下应力与应变之间的关系提供了很大的便利。