有限元方法的发展及应用：从历史到现在

4.2.2.1　有限元的发展

有限元法由科学家R.Courant在1943年首次提出。自从提出有限元概念以来，有限元理论及其应用得到了迅速发展。使过去不能解决或能解决但求解精度不高的问题，都得到了新的且有效的解决方案，为社会的发展做出了极大的贡献。在传统的FEM假设中，一般认为分析域是无限的，材料是同质的（甚至在大部分的分析中认为材料是各向同性的），对边界条件进行简化处理。但实际问题往往与之相悖，其分析域是有限的、材料大部分为各向异性以及边界条件难以确定等。为解决这类问题，大量学者致力于这方面研究，如美国研究员提出用广义有限元法（Gener-alized Finite Element Method, GFEM）解决分析域内含有大量孔洞特征的问题；比利时学者提出用（the Hybrid metis Singular element of Membraneplate, HSM）解决实际开裂问题。

在FEM应用领域不断扩展、求解精度不断提高的同时，FEM也从分析比较向优化设计方向发展。印度Mahanty博士用ANSYS对拖拉机前桥进行优化设计，结果不但降低了约40%的前桥自重，还避免了在制造过程中的大量焊接工艺，大大节约了生产成本。与此同时，FEM在国内的应用也十分广泛。自从我国成功开发了国内第一个通用有限元程序系统JIGFEX后，有限元法就渗透到工程分析的各个领域中，大到三峡工程，小到微纳米级元器件都采用FEM进行分析，具有极为广阔的发展前景。

目前在进行大型复杂工程结构中的物理场分析时，为了估计并控制误差，常用基于后验误差估计的自适应有限元法。基于后处理法计算误差，与传统算法不同，将网格自适应过程分成均匀化和变密度化两个迭代过程。在均匀化迭代过程中，采用均匀网格尺寸对整体区域进行网格划分，以便得到一个合适的起始均匀网格；在变密度化迭代过程中只进行网格的细化操作，并充分利用上一次迭代的结果，在单元所在的曲边三角形区域内部进行局部网格细化，保证了全局网格尺寸分布的合理性，使得不同尺寸的网格能光滑衔接，从而提高网格质量。整个方案简单易行，稳定可靠，数次迭代即可快速收敛，生成的网格布局合理，质量高。

4.2.2.2　有限元的应用

起初，有限元法主要应用于求解结构的平面问题。发展至今，已由二维问题扩展到三维问题、板壳问题；由静力学问题扩展到动力学问题、稳定性问题；由结构力学扩展到流体力学、电磁学、传热学等学科；由线性问题扩展到非线性问题；由弹性材料扩展到弹塑性、塑性、黏弹性、黏塑性和复合材料；从航空技术领域扩展到航天航空、机械制造、水利工程、造船、电子技术及原子能等；由单一物理场的求解扩展到多物理场的耦合。其应用的广度和深度都得到了极大的拓展。

（1）在生物医学中的应用。在对人体力学结构进行力学研究时，力学实验几乎无法直接进行，这时用有限元数值模拟力学实验的方法恰成为一种有效手段。利用有限元力学分析，可以改良医疗器械的力学性能以及优化器械的设计。除了实验方法外，利用有限元法对器械进行的模拟力学实验具有时间短、费用少、可处理复杂条件、力学性能测试全面及其重复性好等优点。另外，还可进行优化设计，指导对医疗器械的设计及改进，以获得更好的临床疗效。利用有限元软件的强大建模功能及其接日工具，可以很逼真地建立三维人体骨骼、肌肉、血管、日腔、中耳等器官组织的模型，并能够赋予其生物力学特性。在仿真实验中，对模型进行实验条件仿真，模拟拉伸、弯曲、扭转、抗疲劳等力学实验，可以求解在不同实验条件下任意部位的变形，应力、应变分布，内部能量变化及极限破坏情况。目前有限元法在国内已经得到了普遍应用，并取得了大量的成就。然而与国外生物力学中有限元的应用情况相比，国内的有限元工作依然有一定差距，所以在有限元的研究中，为解决实际的临床问题仍然需要不懈的努力。(www.xing528.com)

（2）在激光超声研究中的应用。在激光热弹机制激发超声的理论研究工作中，大部分工作在求解热传导和热弹方程过程中采用解析计算方法，在数值计算中主要采用显式或隐式有限差分法，而这些文献工作都局限在板材上，当脉冲激光非轴对称地照射到管状材料表面时，用这些方法求解都非常困难。另外，在激光作用过程中，由于温度的变化，材料的热物理性能也随之发生变化，以上所有的解析方法都无法应用于实际情况。而在数值计算中，有限元方法能够灵活处理复杂的几何模型并且能够得到全场数值解，另外有限元模型能够考虑材料参数随温度变化的实际情况。

（3）在机电工程中的应用。在电机中，电流会使绕组发热，涡流损耗和磁滞损耗会使铁芯发热。温度分布不均造成的局部过热，会危及电动机的绝缘和安全运行；在瞬态过程中，巨大的电磁力有可能损坏电动机的端部绕组。为了准确地预测并防止这些不良现象的产生，都需要进行电磁场的计算，有限元法正是计算电磁场的一种有力工具。

（4）在汽车产品开发中的应用。作为制造业的中坚力量，汽车工业一直是以有限元为主的计算机辅助工程（CAE）技术应用的先锋。有限元法在汽车零部件结构强度、刚度的分析中最显著的应用是在车架、车身设计中的应用。车架和车身有限元分析的目的在于提高其承载能力和抗变形能力、减轻其自身重量并节省材料。对于整个汽车而言，当车架和车身重量减轻后，整车重量也随之降低，从而可以改善整车的动力性和经济性等性能。应用有限元法对整车结构进行分析，可在产品设计初期对其刚度和强度有充分认识，使产品在设计阶段就可保证使用要求，缩短设计试验周期，节省大量的试验和生产费用，是提高产品可靠性既经济又实用的方法之一。它在汽车设计及产品开发中的应用使得汽车在轻量化、舒适性、操纵稳定性和安全性等方面都得到了极大的提高。

（5）在物流运输行业中的应用。运输是物流的重要环节，但在运输过程中包装件不可避免地会遇到碰撞、跌落等冲击，致使产品遭到致命损坏。采用有限元技术模拟包装件在运输中碰撞、跌落等状态，能够减少或避免不必要的人工反复实物实验和破坏性实验，缩短实验周期，降低实验成本。吴彦颖通过跌落模拟分析计算了不同工况下运输包装件的冲击力学响应，并结合以往的环境试验结果，得出了缓冲包装的可靠性和包装件内部无法检测部件的环境适应性结论；还将理论模拟结果与模拟试验测量结果进行对比，验证了数值模型和模拟方法的有效性。国内对产品采用不同材料作为缓冲包装均进行了有限元跌落模拟分析。国外研究人员对电视、烤箱、收音机等电子产品采用缓冲包装后，利用有限元软件进行跌落模拟，主要研究模拟分析过程中的关键技术。

（6）在建筑业中的应用。现如今有限元技术在建筑业也表现出了巨大作用。天津大学从事有限元研究的人员采用有限元分析方法对河北古寺塔进行了地震反应模拟分析。研究发现，水平地震作用下，塔结构在下部会出现拉应力集中区域，更容易产生开裂等破坏现象，而且强烈地震的鞭梢效应会导致塔刹破坏。因此提出了采用塔体加箍、碳纤维布加固等措施来对塔体进行抗震加固。

（7）在复合材料中的应用。复合材料的种类繁多，其组成成分以及材料结构的可设计性极强。由于其结构的复杂性，在实际运作中很难分析清楚结构内部所产生的变化，有限元方法的出现很好地弥补了该领域的空缺。通过有限元模拟分析，可以清楚地了解复合材料复杂的内部结构在实际应用中的变化情况，从而起到损害预防、优化材料结构和提高材料使用寿命的目的。目前，无论是在金属基复合材料、陶瓷基复合材料、抑或是树脂基复合材料的热力学、电磁学等研究方面，有限元的应用都屡见不鲜。