有限元分析——解决复杂问题的有效方法

4.2.1.1　有限元简介

有限元分析（Finite element analysis, FEA）是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟的一种方法。特点在于利用简单而又相互作用的有限数量的未知量，即单元，就可以逼近无限未知量的真实系统。它是20世纪50～60年代兴起的一种计算力学的重要方法，涉及应用数学、现代力学及计算机科学的相互渗透和综合利用。对于传统方法无法求解边界条件及结构形状不规则等复杂问题，有限元法是一种十分有效的分析方法。

4.2.1.2　有限元原理

有限单元法（Finite element method, FEM），也称为有限元法或有限元素法，是将所探讨的这个工程系统（Engineering system）等价转化为一个有限元系统（Finite element system），这个有限元系统由节点（Node）及单元（Element）组合而成，组合成的系统模型取代原有的工程系统进行求解分析。有限元法用于求解复杂的弹性力学和结构力学方程式，它的基本思想是将求解区域离散为一组有限个，且按一定方式相互连接在一起的单元的组合体，单元之间通过节点相连，每个单元被看作是一个整体。单元内部任意位置的待求量只能够由单元节点上的求解值通过选定的函数关系插值得到。由于设定的单元形状简单，因此易于从平衡关系和能量关系建立节点量的方程式，通过求解所有这些单元方程组合成的一个总体代数平衡方程组，最终获得复杂模型的近似数值解。显而易见的是，单元越小，其结果也就会越接近实际，但是同时计算量也就越大，所需要耗费的计算时间也越多，所以要根据具体情况划分合适的单元数。而得益于电子计算机技术的迅猛发展，有限元法成为现代社会中一种不可或缺的计算方法。有限元法主要是根据变分原理求解数学物理问题的数值计算方法，是工程方法和数学方法相结合的产物，可以求解许多过去用解析方法无法求解的问题。更重要的是，它对于解决复杂几何结构和边界问题更具优势，而且结果更接近真实情况。它能准确地反映计算对象在实际应用环境中的受力情况，不仅可以在设计中节约原材料，还能够优化材料结构而使其更合理，确保部件（特别是高速运动或者主要承载部件）的安全性，是一种先进的方法。

有限元分析方法的主要步骤如下。

（1）整体系统的离散化：也就是将给定需要分析的物理系统等价地分割成有限个单元系统。

（2）选择位移模型：假设的位移函数或模型只是近似地表示了真实位移分布。通常假设位移函数为多项式，其中最简单的情况为线性多项式。笔者所要做的是选择多项式的阶次，以使其在可以接受的计算时间内达到足够的精度。(www.xing528.com)

（3）用变分原理推导单元刚度矩阵：刚度矩阵k、节点矢量f和节点位移矢量q的平衡关系表示为线性代数方程组：kq=f。

（4）整合整个离散化连续体的代数方程：即把各个单元的刚度矩阵集合成整个连续体的刚度矩阵，把各个单元的节点力矢量集合为总的力和载荷矢量。

（5）求解位移矢量：即求解上述代数方程，在求解的每一步都要修正刚度矩阵和载荷矢量。

（6）由节点位移计算出单元的应变和应力。

然而，在实际工作中，上述有限元分析步骤只是在计算机软件中处理的步骤，要完成实际工程分析，还需要更多的前处理和后处理，完整的有限元分析流程图如图4-13所示。

图4-13　有限元分析整体流程图