如何画曲面立体的三视图？

常见的曲面立体是回转体。它们是由一母线绕固定轴回转形成的，母线回转到任意位置时称为素线。

图2-19　穿孔四棱柱的三视图

回转体主要有圆柱、圆锥、球等，如图2-20所示。它们由回转面或回转面和平面围成，因此在投影面上表示回转体就是把组成立体的回转面或平面和回转面表示出来。

（一）圆柱

1.圆柱面的形成

圆柱由圆柱面和顶圆形平面、底圆形平面（即上、下底面）围成。圆柱面可看作一直母线AA绕与它平行的回转轴OO回转形成的曲面，如图2-21所示。

图2-20　常见的几种回转体

图2-21　圆柱面的形成

2.圆柱的三视图

图2-22（a）表示了把圆柱轴线放置成铅垂线时的投影情况，图2-22（b）是这个圆柱的三视图。

当圆柱的轴线是铅垂线时，圆柱面上所有素线都是铅垂线，因此圆柱面的水平投影具有积聚性，积聚成一个圆，圆柱面上所有点和线的水平投影都积聚在这个圆周上。由于圆柱的上、下底面是水平面，它们的水平投影反映实形，都重合于这个圆上。上、下底面的正面投影和侧面投影都积聚成水平直线段。圆柱面在正面和侧面的投影，都仅需画出其轮廓素线的投影。在正面投影上，画出的是轮廓素线和ⅢⅢ的投影1′1′和3′3′。在侧面投影上，画出的是轮廓素线ⅡⅡ和ⅣⅣ的投影2″2″和4″4″。它们分别是圆柱面左右、前后四条转向（或极限位置）素线在正面和侧面上的投影。也就是说1′1′和3′3′是前半圆柱面和后半圆柱面两条分界线的投影，它们在侧面投影中与轴线重合不需要画出；而2″2″和4″4″是左半圆柱面和右半圆柱面的分界线，它们在正面投影中与轴线重合也不需要画出。

图2-22　圆柱的投影

因此，圆柱三个视图的特征是：一个视图为具有积聚性投影的圆，圆柱面上所有的点、线都积聚在该圆周上；而另两个视图都是由轮廓素线和上、下底面投影（直线段）所围成的矩形线框。

画圆柱的三视图时，首先应画出对称中心线和轴线，再画出投影具有积聚性的圆，然后根据投影规律画出圆柱轮廓素线的投影和上、下底面的投影。

*3.圆柱面上点的投影

在圆柱面上求点的投影，可利用圆柱面对某一投影面的投影具有积聚性的特点进行作图。如图2-23（a）所示，已知圆柱面上点C的正面投影c′，求该点的水平投影和侧面投影。因C点在圆柱表面上，故它的水平投影c必在圆周上。又因c′没有括号，是可见的，所以C点的水平投影c在投影圆的前半圆周上。根据c′和c就可作出c″。因C点在右半圆柱面上，所以它的侧面投影不可见，标记为（c″）。作（c″）的方法亦可不用45°辅助线，而采用直接量取“宽相等”的方法，但必须保持投影的对应关系，如图2-23（b）所示。

（二）圆锥

1.圆锥面的形成

圆锥面可以看作一条直母线绕与它相交的轴线回转一周所形成的曲面，如图2-24所示。

图2-23　圆柱表面上点的投影

图2-24　圆锥面的形成

2.圆锥的三视图

如图2-25（a）所示，当圆锥轴线为铅垂线时，底面为水平面，它的水平投影反映实形（圆），正面投影和侧面投影积聚成水平直线。圆锥面的正面投影，需要画出圆锥面最左、最右两条轮廓素线SⅠ、SⅢ在正面上的投影s′1′、s′3′。圆锥面的侧面投影，需画出圆锥面上最前、最后两条轮廓素线SⅡ、SⅣ在侧面上的投影s″2″、s″4″。圆锥面的水平投影没有积聚性，但与底面的水平投影重合。

因此，圆锥体三个视图的特征是：一个视图为圆，它是圆锥面与底面交线的投影，另两个视图都是由轮廓素线和底面投影（直线段）所围成的等腰三角形。

图2-25（b）所示是圆锥的三视图。画圆锥三视图时，首先要画出对称中心线和轴线，然后画出底面的投影圆，再在轴线上量取锥顶的高，最后分别画出轮廓素线的投影，即完成圆锥的三视图。

图2-25　圆锥的投影

*3.圆锥面上点的投影

由于圆锥面的三个投影均没有积聚性，所以圆锥面上点的投影需借助辅助线或辅助圆来作出。例如，已知圆锥面上A点的正面投影a′，求其水平投影a和侧面投影a″时，可用以下两种方法作图。

方法 1：取辅助直线（见图2-26（a））。

把A和锥顶S相连，延长SA交底圆于B点。

因为a′可见，所以素线SB位于前半圆锥面上，B点在前半底圆上。

作图步骤如下。

（1）过 s′a′作直线，交底圆正面投影于 b′。

（2）由b′在底圆水平投影的前半圆周上求出b。

（3）连 sb，由 a′在该线上求出a。(www.xing528.com)

（4）由 a′和 a 求出 a″（也可由 b，在底圆的侧面投影上求出 b″，连 s″b″；由 a′，在 s″b″上求出 a″）。

（5）判别可见性，由于圆锥面的水平投影是可见的，所以a也可见。因为A点在左半圆锥面上，所以a″也是可见的。

方法 2：取辅助圆（见图2-26（b））。

过A点在圆锥面上作一垂直于锥轴的水平圆。

作图步骤如下。

（1）过a作轴线的垂线，与圆锥面的正面投影交于b′、c′（b′c′即为过A点的水平圆的正面投影，且为其直径实长）。

图2-26　作圆锥面上点的投影

（2）在水平投影上，以sb=b′c′/2为半径画圆，由a在该圆上求出a。

（3）由 a′和a 求出a″。

（4）可见性的判别同方法1。

（三）球

1.球面的形成

球面可看作一个圆A绕通过圆心且在同一平面上的轴线OO回转而成的曲面。此圆A为母线，母线圆在任意位置即为素线圆。球面的形成如图2-27所示。

2.球的三视图

图2-27　球面的形成

图2-28（a）所示，球的三个投影均为圆，且圆的直径都与球的直径相等。但三个投影面上的圆是球不同方向的轮廓素线的投影，正面上的圆是平行于正面的最大圆A（为球面前后表面的分界圆）的投影，水平面上的圆是平行于水平面的最大圆B（为球面上、下表面的分界圆）的投影，侧面上的圆是平行于侧面的最大圆C（为球面左右表面的分界圆）的投影。

因此，球的三个视图是三个等直径但所表示的意义不同的圆，它们均不具有积聚性。

图2-28（b）所示是球的三视图。画球的三视图时，先画出对称中心线，以确定球心的三个投影位置，再画出三个与球直径相等的圆。在三视图上对三个最大的分界圆A、B、C的投影做了标记，读者可自行分析。

*3.球面上点的投影

由于球面的三个投影都没有积聚性，且球面上也不存在直线，所以不可能利用积聚性或作辅助直线的方法来作图。但球面是回转面，可利用作辅助圆的方法作出球面上点的投影。如图2-29所示，已知球面上A点的正面投影a′，要求作A点的水平投影a和侧面投影a″。方法是过A点作平行于投影面的辅助圆。一般可用以下两种方法作图。

方法1：过A点作水平辅助圆（见图2-29（a））。

作图步骤如下。

（1）过 a′作水平线交球的正面投影于b′、c′（b′c′为水平辅助圆的正面积聚性投影，且为其直径实长）。

图2-28　球的投影

（2）在水平投影上，以球面水平投影的圆心为圆心，以b′c′为直径画圆（此圆即为水平辅助圆的水平投影，反映实形），根据点的投影规律，由a′在该圆上求出a。

（3）由 a′和 a 求出a″。

（4）由于a′可见，并位于主视图左上四分之一圆内，可知A点在前半个球面的左上方，故a和a″均可见。

方法2：过A点作正平辅助圆（见图2-29（b））。

作图步骤如下。

（1）以球面正面投影的圆心为圆心，以圆心到a′的距离为半径画圆（此圆即为正平辅助圆的正面投影，反映实形），交水平中心线于b′。

（2）由b′在球的水平投影轮廓圆上求出b，过b作X轴平行线（正平辅助圆的积聚性投影），根据点的投影规律，由a′在该线上求出a。

（3）由 a′和 a 求出a″。

（4）可见性的判别同方法1。

图2-29　球面上点的投影