非坐标变换实现线性控制法线

所谓非坐标变换法线性控制就是不经坐标变换，直接在静止坐标系下采用线性控制。前面讲过，在这种情况下常规PI控制不能消除交流量稳态误差，因此需要采用其他的控制算法，例如重复控制、二自由度PI控制、比例谐振控制和比例复数积分控制等。

5.4.3.1 重复控制

1.重复控制原理

重复控制是基于内模原理的一种控制思想。所谓内模，是指在稳定的闭环控制系统中包含外部输入信号的数学模型。对于一个控制系统而言，如果控制器的反馈来自被调节的信号，且在反馈回路中包含相同的被控外部信号动态模型，那么整个系统是结构稳定的。内模原理的本质是把系统外部信号的动力学模型植入控制器以构成高精确度的反馈控制系统。积分控制就是内模原理的一个应用。一个稳定的反馈控制系统，如果其前向通道包含积分环节，则该系统对阶跃指令可以做到无静差，同时还可以完全抵消掉所有作用于积分环节之后的阶跃型扰动对稳态输出的影响。因此，积分环节是描述阶跃信号的数学模型。

如果系统的给定信号或扰动为正弦信号，可以在控制器中植入一个与指令同频率的正弦信号模型，即可以实现系统的无静差跟踪。

逆变器控制系统是一个给定信号正弦函数变化的系统，当负载为线性时，其扰动是按角频率ω正弦规律变化。一个稳定的、包含式（5-94）所示内模的逆变器控制系统是无静差的。然而逆变器的实际运行情况要复杂得多。在非线性负载条件下，负载电流是非正弦的，其中蕴含了基波以及谐波。另外，像死区这样的非线性因素，也可等效为多重谐波扰动的叠加。因此，实际的扰动是多种多样的，如果要求对这些扰动均实现无静差，将意味着每一次谐波都要设置一重内模，这将导致控制系统过于复杂，降低工程实用价值。

对非线性负载和死区效应引起的扰动进行分析可以发现，这两种情况引起的干扰信号有两个特点：首先是重复性，其次都是给定信号的谐波。因此，扰动信号在每个基波周期内都以完全相同的波形出现。由于以上原因，基于内模原理的重复控制技术将利用与式（5-94）不同的另一种重复信号发生器内模，其传递函数为

式中，L为逆变器的输出基波周期。这是一个周期延迟正反馈环节，其结构框图如图5-24所示。不论输入信号如何，只要是以基波周期出现，该内模的输出就是对输入信号的逐周期累加。之所以称之为重复信号发生器，是因为即使输入衰减至零，该内模仍然会持续不断地逐周期重复输出与上一周期波形相同的信号，相当于任意信号发生器。所以，当这样一个环节被置于反馈控制系统的前向通道时，它起到的作用与积分环节是相似的，它们都是对误差的一种累加效果。只不过重复信号发生器是对误差进行以周期为步长的累加，而积分环节是对误差进行连续时间的累加。与积分控制的机理类似，包含重复信号发生器的逆变器控制系统，当指令波形和反馈波形不一致时，在未达到限幅的情况下，控制量幅度会逐周期地增长。因此若系统是稳定的，则可以断定稳态时波形误差为零。

图5-24 重复信号发生器

采用式（5-95）所示内模形式的闭环系统称为重复控制系统。由于式（5-95）中纯延时环节e^-Ls难以用模拟器件实现，因而在实际应用中，重复控制都是以离散的数字控制实现，其离散传递函数为

式中，N为一个基波周期内的采样次数。

理想的重复控制系统的结构框图如图5-25所示，其中P（z）为被控对象传递函数。

图5-25 理想的重复控制系统

图5-25所示的重复控制器可视为以周期为步长的纯积分环节。虽然这种“纯积分”可以实现理论上的无静差，但是将会给系统带来N个位于单位圆上的开环极点，从而使开环系统呈现临界振荡状态。此时只要控制对象的建模稍有偏差，或者控制对象参数稍有变化，闭环系统就很可能失去稳定。因此，实际系统多采用改进的重复控制器，如图5-26所示。

图5-26 改进的重复控制器

为了改善输出量指令的跟踪速度将受到重复控制器的限制，图5-29的控制方案中增加了参考指令的前馈通道。这样的控制结构被称为嵌入式结构。改进的重复控制器各组成部分分别为

1）周期延迟环节z^-N。周期延时环节z^-N使控制动作延迟一个周期进行，即本周期检测到的误差信息在下一周期才能得到校正。

2）滤波器Q（z）。重复控制中等效的纯积分环节相当于Q（z）=1。为避免闭环系统失去稳定性，实际应用中Q（z）常常被设计成略小于1的常数，如0.95或低通滤波器形式。当被设计成低通滤波时，Q（z）的一般形式为Q（z）z^-K+M，其中K为一个周期内系统采样次数，z^-K+M为对低通滤波器的相位滞后补偿。采用滤波器Q（z）提高了系统的稳定性，但是牺牲了无静差特性，使纯积分便成了准积分。

3）补偿器C（z）。补偿器C（z）是针对控制对象P（z）的特性设计的，其作用就是提供相位补偿和幅值补偿，以保证重复控制系统稳定，并在此基础上改善校正效果。

2.单相全桥无源逆变器的重复控制

下面以单相全桥无源逆变器（见图5-27）为例介绍重复控制的基本设计思路。对于并网逆变器来说，其基本思路完全一致。

图5-27 单相全桥无源逆变器

负载为RLC二阶电路，忽略电感L支路等效电阻r_∑，其传递函数为

利用双线性变换，对式（5-97）离散化，有

式中，T为采样频率。

首先选取滤波器Q（z）。通常Q（z）取小于1的常数，Q（z）越小越能够增强系统鲁棒性，但是同时稳态误差精度就越差；Q（z）越大越能提高稳态误差精确度，提高系统的输出波形质量，但也越易造成系统振荡。初步选择Q（z）为0.95。

其次确定补偿器C（z）。补偿器具有两个主要功能，即相位补偿功能和幅值补偿功能。采用零极点对消法设计补偿器，理想情况下应有C（z）=P^-1（z）。由于用这种方法设计的补偿器极点就是受控对象的零点，当零点在单位圆外或单位圆上时，所设计的补偿器就不稳定。在这种情况下不能采用对受控对象P（z）直接求逆的方法设计C（z）。此外，在实际应用中由于控制对象的精确模型很难获得，而且模型参数也不可能保持不变，所以实际模型与所获得的模型总有一定偏差，这些都将导致补偿器控制效果变差，甚至导致系统不稳定。为了弥补这个缺点，折中的办法是放弃对被控模型全频段对消，而只对其中低频段对消。设计过程如下：

1）测取对象频率特性，可以选择理论分析、仿真或实验手段。

2）设计补偿器第一部分。根据对象的幅频特性选取合适的补偿器，使得补偿后的对象中低频增益约为1（此即中低频幅频对消）。

3）设计补偿器第二部分。用于抵消被控对象的谐振峰值，使之不破坏系统的稳定性。

4）将补偿器和对象的相频特性叠加，据此并结合系统的采样频率选择合适的超前步长k，使得在整个中低频段内前相通道的总相移尽量小。

5）选择合适的K_r。K_r的可选范围为0～1。减小K_r则增益稳定裕量增大，但会造成收敛速度变慢，稳态误差上升。

6）校验系统稳定性。

综上所述，补偿器C（z）可以采用以下形式：

C（z）=K_rz^kS（z） （5-99）

式中，z^k为起相位补偿作用的超前环节；K_r为重复控制器增益；S（z）为补偿器。

由于负载为二阶环节，为了增强系统的稳定性，需要消除二阶系统的谐振峰。有两种常用的方法来消除谐振峰。一种方法是使用低通滤波器。对于这种方法，通过合理设置滤波器的参数，使其增益在逆变器的截止频率处能衰减至-20～-30dB，即可消除逆变器的谐振峰。但是由于二阶滤波器有限的增益下降斜率（-40dB/10倍频），要在逆变器截止频率处产生如此高的增益，势必需要将二阶滤波器本身的截止频率设置得低一些。而这样做有一个很大的弊端：在抵消逆变器谐振峰值的同时，也会显著地降低逆变器截止频率以下很宽一段频率范围内的增益。另一种方法就是采用陷波器，也被称为零相移滤波器。此方法对特定的频率有很强的衰减作用，而且衰减速度很快，对周围频段的影响小。通过合理的设计陷波器，使它的最大衰减处恰好位于逆变器的谐振点，最大限度地衰减谐振峰值。而且此函数具有零相移特性，不必进行相位补偿。但是陷波器不具有整个高频段的衰减特性，不能作为低通滤波器单独使用。而二阶滤波器恰好可以弥补这一不足，将两者结合使用可以很好地满足系统的要求。采用梳状带通滤波器的零相移滤波器表达式为

当a=2时，F（z）对特定频率有最强的衰减。此时，阶数N可以由下式确定：

假设采样频率20kHz，电感L=400μH，电容C=9.9μF。按R=30kΩ确定控制对象的谐振频率（轻载时谐振峰值较高），有。(www.xing528.com)

由式（5-101）得N=4。从而得到梳状滤波器S₁（z）为

控制对象的离散传递函数为

如图5-28所示为梳状滤波器S₁（z）的伯德图，图5-29为控制对象P（z）、梳状滤波器S₁（z）及补偿后S₁（z）P（z）的伯德图。由图5-29可以看出，受控对象P（z）谐振峰值处的幅值由72dB下降到-258dB，而对低频段增益基本无影响。

对于二阶滤波器的设计，因为二阶滤波器只提供高频衰减特性，而不是对消对象的谐振峰，所以它的截止频率可以大大提高，甚至可以提高到接近逆变器的截止频率。因此它的加入不会带来显著的低频增益损失。取此低通滤波器的截止频率为逆变器的谐振频率ω，阻尼系数为0.707，得到的二阶低通滤波器离散化传递函数为

图5-28 梳状滤波器S₁（z）的伯德图

图5-29 S₁（z）、P（z）与S₁（z）P（z）的伯德图

因此，总补偿器为

S（z）=S₁（z）S₂（z） （5-105）

3.重复控制的改进

由于重复控制是基于基波周期的误差校正，因此其稳态性能优越，但其暂态特性往往不能满足要求。为了解决这个问题，可采用PI控制与重复控制相结合的复合控制。利用PI控制对瞬时扰动的抑制作用加快暂态响应时间。重复控制与PI控制的复合控制有两种结构：串联结构和并联结构。

串联结构的重复控制与PI控制复合控制的原理框图如图5-30所示。这种控制结构实际上是一种多环控制结构，作为重复控制器内环的PI闭环系统实际上成为控制对象。通过对PI控制器的优化设计，可完全消除被控对象固有的谐振峰。重复控制器中补偿器的设计得到大大的简化，只需要设计低通滤波器和相位补偿器即可。然而，由于多环的动态特性主要由外环决定，对于串联结构的双闭环及重复控制复合控制，其动态特性受重复控制影响很大。尤其在突加或突减负载的情况下，往往要数个基波周期才能稳定。

图5-30 串联结构的重复控制与PI控制复合控制的原理图

为了解决上述串联结构动态响应差的问题，可以采用并联结构的重复控制和PI控制的复合控制，其原理如图5-31所示。并联结构复合控制中，PI控制器在突加或突减负载方面性能优异，采用经典控制理论设计，实现方便，并且容易稳定。而重复控制器在稳压精度和电压输出质量上较好，但是动态性能和稳定性较差。单纯按照图5-31所示方案进行控制，会由于两组调节器相互影响，造成系统不易稳定。因此实际应用中，可以根据输出电压与给定参考电压的偏差量来决定主要采用重复控制器还是PI调节器控制。

图5-31 并联结构的重复控制与PI控制重复控制原理图

5.4.3.2 比例复数积分控制

1.比例复数积分控制基本原理

比例复数积分控制器的传递函数为

由式（5-106）可见，比例复数积分控制器在基波频率ω₀处的增益趋于无穷大。

单相并网逆变器拓扑结构如图5-32所示。并网逆变器工作于电流控制模式，采用比例复数积分控制时，系统的结构框图如图5-33所示。

由于比例复数积分控制器在基波频率ω₀处的增益趋于无穷大，因此其对稳态误差的消除和抗干扰能力非常强。

图5-32 单相并网逆变器拓扑结构

图5-33 比例复数积分控制的单相并网逆变器系统结构框图

2.比例复数积分控制的设计思路

假设系统参数如下：电网电压为120V/50Hz，直流母线电压250V，系统开关频率10kHz，滤波电感3mH（0.2Ω）。

首先设计比例系数k_p，为了保证系统具有较快的响应速度，同时避免放大噪声，系统带宽范围一般选择高于基波频率10倍且低于开关频率1/10，因此系统带宽f_b选择范围为500＜f_b＜1000。

为了得到系统带宽的表达式，首先根据系统闭环传递函数求出系统闭环幅频特性。系统闭环传递函数及其幅频特性和相频特性如下：

只考虑k_p时，系统闭环幅频特性如下：

系统带宽定义为当系统闭环幅频特性的幅值降到-3dB时，对应的频率为ω_b，0～ω_b的频率范围称为系统的带宽。这里选择系统带宽f_b=650Hz即ω_b=4100rad/s，代入式（5-107）可得k_p=0.1。

然后设计复数积分系数k_i。引入k_i后系统带宽将发生变化，为了保证系统带宽在要求范围之内，选择f_b=690Hz即ω_b=4330rad/s，根据式（5-108）计算得k_i=20。

参数设计之后，可以观察系统的动静态特性。先给出系统抗扰特性传递函数及其幅频特性和相频特性如下：

根据式（5-107）～式（5-109）以及式（5-111）～式（5-113）可得到闭环系统的伯德图，如图5-34所示。

图5-34 比例复数积分控制下的闭环系统伯德图

由图5-34a和式（5-108）、式（5-109）可见，闭环系统在基波频率处的幅频特性为1，相频特性为0；而由图5-34b和式（5-111）、式（5-112）可见，系统的抗扰幅频特性在基波频率处为0，相频特性也为0。这说明系统实现了零稳态误差控制。

传统控制器一般为实数域控制器，而PCI控制器中存在复数j，为复数域控制器，给控制器实现带来了一定困难。然而，根据复变函数理论可知，j代表幅值不变，相位正向旋转90°。在三相系统中，利用αβ坐标系变量m_α=jm_β这一关系巧妙地实现j，如图5-35所示。