优化PWM技术

时间：2023-06-16 理论教育版权反馈

【摘要】：跟踪型PWM技术包括滞环PWM技术和单周期技术等。下面着重介绍优化PWM技术。所谓优化PWM技术就是通过某种优化算法，计算出变流器各开关器件的通断时间和顺序，以达到预先设定的目标或要求。

优化PWM技术

前面讲到SPWM、HIPWM和SVM技术都是调制型PWM技术。除了调制型PWM技术，还有跟踪型PWM技术和优化PWM技术。跟踪型PWM技术包括滞环PWM技术和单周期技术等。跟踪型PWM技术兼具开关调制和闭环控制的功能，在本章3.1节DC-DC变换器的控制技术中已经介绍了其基本原理。跟踪型PWM技术应用于逆变器的基本原理与应用于DC-DC变换电路中的完全一致，这里不多赘述。下面着重介绍优化PWM技术。

所谓优化PWM技术就是通过某种优化算法，计算出变流器各开关器件的通断时间和顺序，以达到预先设定的目标或要求。比如在电动机驱动方面，针对铜损耗问题，就可以设定相应目标函数以获得最优的铜损耗曲线。通过优化算法，可以计算出开关器件的触发脉冲信号。在各种优化指标中，谐波最优是受到关注最多的，以谐波最优为目标的优化PWM技术也是研究和应用最为广泛的优化PWM技术，其中最为常见的就是定次谐波消除PWM（Selected Harmonics Elimi-nation PWM，SHEPWM）。

图3-71 四种MSL-SVM逆变器输出线电压的频谱

3.3.4.1 SHEPWM的基本原理

在方波的某些角度上设置凹槽，以抑制不需要的谐波，控制基波分量的大小，就是SHEPWM。如图3-72所示为单极性定次谐波消除PWM调制波的波形。为了减少谐波并简化控制，就要尽量使波形具有对称性。如图3-72所示，波形正负半周镜像对称，因此不含偶次谐波；半周期内关于1/4周期轴对称，因此不含余弦项。于是图3-72所示波形的傅里叶级数展开式为

由傅里叶级数的定义可知

展开式（3-70），可得

图3-72 单极性SHEPWM输出PWM波形

在1/4周期内，有i个参数（脉冲开关时刻）需要确定，除了给定基波幅值外，还有i-1个参数待定，这是消除谐波的自由度。令要消除的低次谐波的幅值为0，给定基波幅值，即可得到如下方程组：

式中，j表示谐波次数，且1＜j≤i。

对于不同的基波幅值，求解上述方程组，可以获得不同的开关角。以i=4为例，求解上述方程组，可得到1/4周期内的四个开关角。根据一个周期内半波对称和1/4周期纵轴对称的性质，可以求出一个周期内所有的开关角数值，共18个。对于三相系统，可根据三相波波形各相相差120°的特点来求出另两相的脉冲开关角，三相总共54个数值。

3.3.4.2 开关角的求解

SHEPWM能够直接消除指定次数的谐波分量，效果直观、原理清晰，而且其开关频率较载波法PWM大大降低，因而在大功率电力电子设备中有很好的应用前景。但SHEPWM中开关角的计算特别是在线计算非常复杂，因而SHEPWM方法虽在20世纪70年代就已经提出，但应用却不是特别广泛。随着高级计算软件的发展，开关角计算的离线算法已经得到了解决。特别是目前高速微处理器的不断进步（DSP的单步乘法运算速度已经达到25ns乃至更快）和各种数学方法不断引入，在线实现SHEPWM已经逐渐成为现实，SHEPWM的应用越来越广泛。

1.离线算法

SHEPWM开关角的离线算法通常采用牛顿-拉夫逊法。该方法的要义就是对式（3-72）的超越方程组进行线性化处理，通过迭代算法，求取开关角。

以i=4为例，需要用到下列矩阵：

1）列开关角矩阵为

α^j=[α^j₁，α^j₂，α^j₃]^T （3-73）

2）系统矩阵为

3）各次谐波幅值矩阵为

式（3-72）可表为

F（α）=T （3-77）

牛顿-拉夫逊算法的基本原理为

1）当j=0时，置初始值α⁰=[α⁰₁，α⁰₂，α⁰₃，α⁰₄]^T。

2）将初始值代入式（3-77），计算F（α⁰）=F⁰。

3）α⁰的线性方程为

式中，dα⁰=[dα⁰₁，dα⁰₂，dα⁰₃，dα⁰₄]^T。

4）得到

式中，为的逆矩阵。

5）计算下一个值α^j+1=α^j+dα^j

6）重复步骤2～5，直到dα^j达到所希望的精确度。

牛顿-拉夫逊法原理非常清晰，操作也很简单，但并不是很容易得到所需的开关角数值，其主要原因就是初始值难以选取。牛顿-拉夫逊法的收敛范围比较窄，如果初始值选取不当，就很难收敛。为此很多简化算法不断出现，比如将超越方程转化为高次线性方程等，但其运算难度仍然很大。

实际上，在各种优化算法中，有些算法对初始值的要求并不是很高，比如单纯型法。单纯型法的程序设计较牛顿-拉夫逊法稍复杂，但其收敛速度和精确度却更好，对初始值的要求也较为宽泛，因此采用单纯型法是更好的解决方案。

不论是牛顿-拉夫逊法，还是单纯型法，都需要较为复杂的编程。实际上，目前一些高级程序语言本身已经包含这些优化算法的软件包，直接应用就可以离线求出任意精确度的开关角，除非方程本身没有最优解。比如Matlab程序就提供了两个解非线性最优问题的函数fsolve和fminsearch，特别是fminsearch采用单纯型法，功能强大，对初始值没有特殊要求，收敛范围极宽。因此离线求解SHEPWM开关角已经不再是问题了。

2.在线算法

SHEPWM开关角的运算传统上都采用离线算法，因而在某些对快速性和动态特性要求高的场合，SHEPWM不具备优势。因此研究在线开关角计算方法，对SHEPWM而言是非常重要的。

1989年Asumadu和Hoft首次提出了基于Walsh函数来分析PWM波形产生的方法，利用Walsh函数波形分析技术，可以将求解开关角的非线形方程组转变为求解关于基波幅值的分段线性方程组，这样大大缩减了计算时间，使在线控制成为可能。

（1）Walsh函数

Walsh函数是1923年美国数学家J.L.Walsh提出的，即每个函数仅取+1和-1两个数值，波形呈方波形，它们的全体构成单位区间[0，1]上的完整标准直交系。与傅里叶级数相同，任何一个时间函数完全可以用多个Walsh函数来表示。Walsh函数只定义在有限的时基T内，具有两个自变数（时间变数t和序数m）。函数通常表示为Wαl（m，t），大多数情况下，函数的序次是按照该函数在时基T内的过零数目多少来排列的。

如果每个波形都分成8个区间，则波形的幅值可以表示为如下矩阵：

式中，m为Walsh函数的序列号（矩阵的行）；t为对应的取样点（矩阵的列）。

类似于通过傅里叶级数展开式可以将时间函数f（t）表示为正弦—余弦级数。所以对于时限0≤t≤1范围内的连续函数f（t）也可以用Walsh函数表示为

式中，F^ω（m）为Wαl（m，t）的Walsh系数。(www.xing528.com)

Walsh函数可以分为奇对称函数和偶对称函数两组，即Wαl（2m，t）=Cαl（m，t）；Wαl（2m-1，t）=Sαl（m，t），其中m=1，2，…，N/2。由于这种对称特性，Walsh函数的表示式与三角函数的表示式相似。

（2）Walsh级数与傅里叶级数之间的转换

图3-72所示的单极性SHEPWM的傅里叶级数可表示为式（3-70）和式（3-71）。但是由于u（ωt）是未知的，很难直接通过式（3-71）计算出u（ωt）谐波的幅值。而Walsh函数仅取+1和-1两个数值，在归一化时间周期内简化了选择开关角消除特定谐波的计算。因此用Walsh函数表示的u（ωt）的输出为