弹塑性力学和有限元基础：附录C

一、弹性力学的基本概念

弹性力学又称弹性理论，是固体力学的一个重要分支。它研究弹性体在外力和其他外界因素作用下所产生的变形和内力，其研究对象为非杆状的结构，如板、壳、挡土墙、堤坝等实体结构。此外，对杆状构件也可作进一步较精确的分析，它与材料力学、结构力学有着重要的关系。一方面，弹性力学是这些学科的继续和深入，研究和处理更为复杂的工程实际问题，另一方面，由于弹性力学的理论更具一般性，所以弹性力学的解可对材料力学所得出的解做出正确的评估。同时，弹性力学又是塑性力学、断裂力学、板壳理论、弹性稳定性理论等学科的重要基础。

为了在分析问题时抓住问题的关键，使问题得以简化并且又满足工程计算的需要，与材料力学类似，弹性力学做出了下面一些基本假设。

1.基本假设

（1）物体构造的连续性假设

物体内部由连续介质组成。物体内部的应力、应变和位移等物理量是连续的，因此，可用坐标的连续函数来表述它们的变化规律。

（2）物体的完全弹性假设

物体在外载荷的作用下发生变形。在温度不变的情况下，外载卸除后，物体完全恢复原状，无任何残余变形。同时假定材料服从胡克（Hooke）定律，即应力与应变成正比。

（3）物体的均匀性和各向同性假设

物体是由同种材料组成的。即整个物体的各部分具有相同物理性质，因而可任取物体微元来进行分析，其微元性质可用于整个物体。物体的各向同性指物体的力学性质在各个方向上相同。对钢材等由晶体构成的金属材料，尽管晶体本身表现出各向异性，但由于它们很微小，且排列杂乱无章，在宏观上表现为各向同性。

（4）小变形假设

物体在外力的作用下，各点位移远小于物体的尺寸。在建立物体变形后的平衡方程中，可用变形前尺寸代替变形后尺寸，而且在小变形情况下，弹性理论中的微分方程将是线性的，所以可以使用叠加原理。

弹性力学中分析问题的方法是从静力学、几何、物理三方面进行分析，建立用应力、应变和位移表达的基本方程，以及相应的定解条件，然后按定解条件求解具体的弹性力学问题。下面介绍弹性力学的基本解法。

2.直角坐标系下一般问题的基本方程

（1）平衡微分方程

利用截面法，在所研究的物体内包围一点P切取一微元体，它的六个面都垂直于坐标轴，棱边长分别为dx、dy、dz，如图C-1所示。

图C-1 微元体示意图

正应力分别为σ_x、σ_y、σ_z，下标x、y、z分别表示应力作用在垂直于x、y、z轴的面，且沿x、y、z轴方向。剪应力分别用τ_xy、τ_yz、τ_zx表示，下标中前一字母表示剪应力所在面的法线方向，后一字母表示剪应力方向。图中所示应力均为正。

应力分量是位置坐标的函数，所以作用在微元体三个相对面上的应力分量不同。由于所取微元体很小，因此，可认为各个面的面力分量和由外力所产生的沿x、y、z方向的体力分量X、Y、Z均布。

微体处于平衡状态，应满足以下六个平衡方程，即

由力平衡方程经化简后得以下三个关系式：

由力矩平衡方程，则得到

τ_yz=τ_zy，τ_zx=τ_xz，τ_yx=τ_xy

这就是剪应力互等定理。

式（C-1）即为平衡微分方程，当不考虑体力时，可化简成如下形式：

（2）几何方程

弹性体中任意一点P在外载荷作用下，必然发生位移和变形。设点P在坐标轴x、y、z方向的位移分量分别为u、v、w，则位移和应变分量之间的关系，即几何方程如下：

（3）物理方程

在完全弹性的各向同性体中，应变分量和应力分量间的关系由胡克（Hooke）定律导出，即

式中 E——拉压弹性模量；

G——剪切弹性模量；

μ——泊松比，。

将式（C-3）中前3式相加，得弹性体的体积应变：

式中，称为体积弹性模量，（σ_x+σ_y+σ_z）称为体积应力。

通过平衡微分方程、几何方程和物理方程我们共得到15个方程式。这15个方程中，包含15个未知函数：6个应力分量σ_x、σ_y、σ_z、τ_yz=τ_zy、τ_zx=τ_xz、τ_yx=τ_xy；6个应变分量ε_x、ε_y、ε_y、γ_xy、γ_yz、γ_zx；3个位移分量u、v、w。通过上述方程组以及相应的边界条件，可以解出这15个未知量。

二、平面问题的基本理论

实际的弹性力学问题都是空间问题，但在某些特殊情况下可以把空间问题简化为平面问题，以简化分析和计算工作量，同时也满足工程需要。下面分析两类平面问题。

1.平面应力问题和平面应变问题

（1）平面应力问题

设有一物体，其一个坐标轴（如z轴）方向的尺寸远小于其他两个坐标方向的尺寸。例如一平板，只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的外力作用，如图C-2所示。

由于板两侧没有外力，所以有

由于板较薄，外力不沿板厚变化，应力沿着板的厚度又连续分布，因此可以认为在整个平板上都有

σ_z=0，τ_zx=0，τ_zy=0

这样，平行于xOy平面的3个应力分量σ_x、σ_y、τ_yx=τ_xy也可近似地认为是不沿板厚变化的，即它们是x、y的函数，不随z变化。这类问题称为平面应力问题。

（2）平面应变问题

设有一物体，其沿某一个坐标轴（如z轴）方向的尺寸远大于其他两个坐标方向的尺寸。所有垂直z轴的横截面都相等。例如一个很长的柱形体，其横截面如图C-3所示。

图C-2 平板受力示意图

图C-3 柱形体

柱面上受平行于横截面且不沿长度变化的载荷，同时支承条件也不随长度变化。可见，任意横截面都没有z轴方向的位移，而沿x、y轴的位移与z轴无关，即一切应力分量、应变分量和位移分量都只是x、y的函数。

w=0

u=u（x，y）

v=v（x，y）

又由于对称条件τ_zx=0，τ_zy=0，根据剪应力互等定律，可推断τ_xz=0，τ_yz=0。

这类问题仅存在xoy平面内的位移和应变，所以称为平面应变问题。

2.平衡微分方程与平面问题中一点的应力状态

（1）平衡微分方程

由式（C-1）及对两类平面问题的分析可知，无论平面应力问题还是平面应变问题，它们的平衡方程表达式形式都一样。

上述微分方程中包含3个未知函数σ_x、σ_y、τ_yx=τ_xy，因此决定应力分量的问题是静不定的，还必须考虑应变和位移方程，才能解决问题。

（2）一点的应力状态

假定已知任一点P处的应力分量σ_x、σ_y、τ_yx=τ_xy（见图C-4a），试求出经过该点的、平行于z轴而倾斜于x轴和y轴的任何斜面上的应力。为此，在P点附近取一个平面AB，它平行于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平面划出一个微小三棱柱PAB（见图C-4b）。当面积AB无限减小而趋于P点时，平面AB上的应力就成为上述斜面上的应力。用N代表斜面AB的外法线方向，其方向余弦为

cos（N，x）=l，cos（N，y）=m

图C-4 一点的应力状态

用X_N及Y_N代表斜面AB上的应力s在x轴和y轴上的投影。

由平衡条件∑F_x=0和∑F_y=0，得

X_N=lσ_x+mτ_xy，Y_N=mσ_y+lτ_xy （C-7a）

令斜面AB上的正应力为σ_N，剪应力为τ_N，则由X_N、Y_N的投影并将式（C-7a）代入可得

σ_N=l²σ_x+m²σ_y+2lmτ_xy （C-7b）

τ_N=lm（σ_y-σ_x）+（l²-m²）τ_xy （C-7c）

由式（C-7b）和式（C-7c）可见，如果已知P点的应力分量σ_x、σ_y、τ_xy，就可以求得经过P点的任一斜面的正应力σ_N及剪应力τ_N。

3.几何方程、物理方程和边界条件

（1）几何方程

平面问题的几何方程可由一般问题的几何方程[式（C-3）]化简得到

与平衡方程一样，上述几何方程对两类平面问题均适用。

（2）物理方程

在平面应力问题中，σ_z=0，τ_zx=0，τ_zy=0，式（C-4）化简为

式（C-9）即为平面应力问题的物理方程，式中。此外，式（C-4）中的第3式化

简成

可用来求薄板厚度的改变量。

在平面应变问题中，由w=0，可知ε_z=0，即

可得

σ_z=μ（σ_x+σ_y）

将上式代入式（C-4），并由τ_xz=0，τ_yz=0可得平面应变问题的物理方程：

可见，两类平面问题的物理方程不同。然而如果将平面应力问题物理方程中的E换成，μ换成，即为平面应变问题的物理方程。

从上述平衡方程、几何方程和物理方程的分析中可见，基本方程数目等于未知函数数目，因此在适当的边界条件下，从基本方程中求解未知函数是可能的。

（3）边界条件

按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界条件问题、应力边界条件问题和混合边界条件问题。

在位移边界条件问题中，物体在全部边界上的位移分量为已知的。平面问题在边界上有

u_s，vs是位移的边界值，在边界上是坐标的已知函数。上式是平面问题的位移边界条件。

在应力边界条件问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的。将斜面上应力公式（C-7a）应用于边界上一点，即

这就是平面问题的应力边界条件。

当边界垂直于某一坐标轴时，应力边界条件简化为如下形式：

垂直于x轴的边界上，

垂直于y轴的边界上，

在混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，而另一部分边界具有已知面力，因而具有应力边界条件，即两个边界条件中，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。

4.平面问题的基本解法

在弹性力学中求解问题有3种基本方法：按位移求解、按应力求解和混合求解。

按位移求解时，以位移分量为基本未知函数。综合运用平衡方程、几何方程和物理方程，得到一些只包含位移分量的微分方程，由这些位移微分方程和边界条件求出位移分量以后，用几何方程求出应变分量，再用物理方程求出应力分量。

按应力求解时，以应力分量为基本未知函数。综合运用平衡方程、几何方程和物理方程，得到一些只包含应力分量的微分方程，由这些包含应力分量的微分方程和边界条件求出应力分量以后，用物理方程求出应变分量，再用几何方程求出位移分量。

混合法求解时，同时以某些位移分量和应力分量为基本未知函数，由一些只包含这些基本未知函数的微分方程和边界条件求出这些基本未知量，再使用适当的方程求出其他未知量。

（1）按位移求解平面问题

在平面应力问题中，由物理方程[式（C-9）]求解应力分量得

将几何方程[式（C-8）]代入，得

将上式对x、y求导后代入平衡微分方程式[（C-6）]，化简得

这就是用位移表示的平衡微分方程。

将式（C-12b）代入应力边界条件[式（C-11）]，得

这就是用位移表示的应力边界条件。

按位移求解平面问题时，要使位移分量满足微分方程式（C-13），并在边界上满足应力边界条件式（C-14）。求出位移分量后，即可用几何方程式（C-8）求得应变分量。然后利用式（C-12a）求得应力分量。

对平面应变问题，将上述各方程中E换成，μ换成即可。

一般按位移求解平面问题时，最后还需处理联立的两个二阶偏微分方程，且无法化简为一个单独的微分方程，这是按位移求解的缺点。

（2）按应力求解平面问题

式（C-8）3个几何方程求导后，消去位移分量得

这个关系式称为平面问题的相容方程，又称变形协调方程。

对平面应力问题，将其物理方程式（C-9）代入式（C-15a）得

式（C-15b）只含应力分量，为化去式中剪应力，将平衡微分方程式（C-6）变形求导后代入式（C-15b），得

对于平面应变问题，可作相似的推导，或将式（C-16）中μ换成，得

式（C-16）和式（C-17）分别为按应力求解平面应力问题和平面应变问题的相容方程。在很多工程问题中，体力是常量，如重力、惯性力等。此时，平面问题中的相容方程都化简为

以记号▽²代表，则式（C-18）可写成

平面问题中，应力分量σ_x、σ_y、τ_xy应分别满足平衡微分方程式（C-6）和相容方程，此外，应力分量在边界上还应满足应力边界条件式（C-11）。

对位移边界问题和混合问题，由于位移边界条件一般无法改用应力分量及其导数表示，所以，一般不能按应力求解。

（3）平面问题的直角坐标解

平衡微分方程式（C-6）为一个非齐次微分方程。非齐次微分方程的解由两部分组成：对应的齐次微分方程的通解和它本身的一个任意特解。平衡微分方程式（C-6）的解如下：

式中 ϕ——x，y的函数，即ϕ=ϕ（x，y）。

函数ϕ称为平面问题的应力函数。

当体力是常量时，将式（C-19）代入式（C-18）得

可进一步写为

如果忽略体力，式（C-19）简化为

对平面应力问题，σ_z=0；平面应变问题，σ_z=μ（σ_x+σ_y），σ_z计算式与式（C-19）或式（C-21）一起构成应力计算式。

此时，应力的计算归结为通过式（C-20）求解应力函数ϕ。由于式（C-20）为偏微分方程，且满足该偏微分方程的应力函数ϕ得到的各应力分量在边界上还应满足应力边界条件，具体求解是很困难的。因此，一般我们采用逆解法或半逆解法。

逆解法就是设定各种形式的应力函数ϕ，然后使应力函数ϕ满足方程式（C-18），再由式（C-19）和式（C-21）求出应力分量。最后根据应力边界条件确定对于一定形状的物体，这些应力分量对应于什么样的表面力，这样就可以确定所假定的应力分量能解决什么样的问题。

半逆解法就是针对求解问题的几何特征和受力特征，凑出应力函数ϕ的形式，然后根据式（C-18）和边界条件确定应力函数ϕ。如果该函数能满足弹性力学全部条件，就可以确定这个函数，否则需要修改原设函数，直到满足条件。

5.轴对称平面问题的基本方程

平面问题中，如果所研究的弹性体的几何形状、约束条件以及所受的作用力都对称于某一轴（通过该轴的平面称为对称平面），则所有的应力、应变和位移都对称于这一轴，这种问题称为轴对称平面问题，如承受轴对称载荷的圆平板。

轴对称平面问题分析中，采用极坐标比直角坐标方便。同样从平衡微分方程、几何方程和物理方程三方面考虑来解决这类问题。

先从一般平面问题出发，推出方程。

图C-5 微元六面体尺寸及受力示意图

（1）平衡微分方程

从弹性体中切出一微元六面体，微元体尺寸及受力如图C-5所示。以σ_r表示沿r方向的正应力，称为径向应力；以σ_θ表示沿θ方向的正应力，称为周向（或环向）应力。K_r代表径向体力，K_θ代表周向体力。

在r、θ方向分别建立力平衡方程，得到以下方程式：

对于轴对称平面问题，微体的位移、应力和应变只是r的函数，与θ无关，且不存在剪应力，因此式（C-22）可化简为

平面应力问题和平面应变问题具有相同的平衡微分方程表达式。

（2）几何方程

在极坐标系下，用u表示径向位移，v表示周向位移。ε_r、ε_θ分别表示沿r方向的径向应变和沿θ方向的周向应变。γ_rθ为周向与径向两线段间剪切应变。

首先，假定只有径向位移u，而无周向位移。如图C-6a所示，径向线段PA移至P′A′，周向线段PB移至P′B′。

径向线段PA的正应变为

周向线段PB的正应变为

径向线段PA的转角α=0，周向线段PB的转角

图C-6 位移示意图

剪切应变为

然后，假定只有周向位移v，而无径向位移，如图C-6b所示。同样分析得

当两向位移都存在时，将式（C-24a）、式（C-24b）、式（C-24c）和式（C-24d）、式（C-24e）、式（C-24f）分别相加，得到极坐标下的几何方程：

对于轴对称的平面问题，此时径向位移与θ角无关，，且由于轴对称v=0，因此

γ_rθ=0，有

（3）物理方程

由于极坐标与直角坐标一样也为正交坐标，所以只需将直角坐标下的物理方程各参数下标x、y换成极坐标下的下标r、θ即可。平面应力状态物理方程为

平面应变状态下，上述各方程中E换成，μ换成即可。

（4）相容方程

平面问题中应力是r、θ的函数，应力函数ϕ=ϕ（r，θ）。极坐标下的关系式，如相容方程等，都可仿照在直角坐标系下的推导方法得出。为简单起见，一般直接将直角坐标中的关系转换成极坐标关系式。

直角坐标系与极坐标系的转换关系如下：

忽略体力时，极坐标下各应力式为

用应变函数表示的相容方程也可转化为

用极坐标求解平面问题只需从相容方程式（C-29）求解应力函数ϕ=ϕ（r，θ），然后按式（C-28）求出应力分量。得到的应力分量还应满足给定问题的边界条件。

（5）应力分量的坐标变换式

在一定应力状态下，如果已知直角坐标下的应力分量，就可以用简单关系求得极坐标中的应力分量。反之亦然。表示两个坐标系应力关系的表达式，称为应力分量的坐标变换式。

直角坐标向极坐标的坐标变换式为

极坐标向直角坐标的坐标变换式为

（6）轴对称平面问题的应力与应变

对于轴对称问题，应力仅为r的函数，应力式（C-28）可简化为

式（C-29）可进一步简化为

要求出应力，首先应解出应力函数ϕ。微分方程式（C-33）的通解为

ϕ=Alnr+Br²lnr+Cr²+D （C-34）

将应力函数式（C-34）代入式（C-32），得应力分量

再分析与应力对应的应变与位移。对平面应力问题，将式（C-35a）代入物理方程式（C-26），得

应力式（C-35a）和应变式（C-35b）中都含积分常数，将应变式（C-35b）代入几何方程式（C-25）中第1式和第2式，由两式经积分运算得到的径向位移u应相等，则积分常数B=0。代回应力式（C-35a），得轴对称平面问题应力公式

代回应变式（C-35b），得轴对称平面问题应变公式：

当考虑轴对称平面应变问题时，将方程式（C-36）中的E换成，μ换成即可。

三、弹性力学解题方法举例

1.圆孔的孔边应力集中

受力弹性体开有小孔时，孔边应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力，这种现象称为孔边应力集中。

孔边应力集中是局部现象，在离开孔较远处，应力几乎不受开孔的影响。应力集中的程度，首先与孔的形状有关。一般地讲，在各种形状的开孔中，圆孔的孔边应力集中程度最低。如果不能采用圆孔，也应采用近似于圆孔的孔（如椭圆孔）来代替具有尖角的孔。

1）矩形薄板周边受均布拉力q，远离边界处开一半径为a的小圆孔，如图C-7所示。

图C-7 周边受均布拉力的矩形薄板

由于主要考察圆孔附近的应力，所以采用极坐标求解，首先应将直边转变成圆边。为此，以远大于a的某一长度b为半径，以坐标原点为圆心作一个大圆，如图中虚线所示。

由应力集中的局部性可见，在大圆周处，如A点，应力分布情况与无孔时相同，即σ_x=q，σ_y=q，τ_xy=0。代入坐标变换式（C-30），得到该点的极坐标应力分量σ_r=q，τ_rθ=0。于是原问题变成这样一个新问题：内半径为a而外半径为b的圆环或圆筒，在圆环或圆筒内壁，载荷为0，在外边界上受均布拉力q，即（σ_r）_r=a=0，（σ_r）_r=b=q。

由上可知，应力仅为r的函数与θ无关，即ϕ=ϕ（r），其几何形状为圆环或圆筒，可按平面应力的轴对称问题应力[式（C-34）]把上述边界条件代入，解得

由于ba，从而上式化简为

式（C-37）即为矩形平板周边受相同拉伸载荷，在远离周边处开小孔时，小孔附近的应力公式。该式只能用于小孔直径远小于板的长、宽尺寸的场合。

2）横向受拉伸、纵向受压缩载荷的矩形平板，远离边界处开一个半径为a的小圆孔。

与1）中分析相同，做一大圆，如图C-8中虚线所示。在大圆周处，有σ_x=q，σ_y=-q，τ_xy=0。利用坐标变换，得

r=a处，边界条件为

（σ_r）_r=a=0，（τ_rθ）_r=a=0 （C-38a）(www.xing528.com)

r=b处，边界条件为

（σ_r）_r=b=qcos2θ，（τ_rθ）_r=b=-qsin2θ （C-38b）

图C-8 横拉纵压的矩形薄板

由边界条件可知，应力不仅是r的函数，也是转角θ的函数，ϕ=ϕ（r，θ）。该问题不是轴对称问题，按一般平面问题应力表达式（C-26）和式（C-27）及相容方程式（C-28）确定应力函数ϕ。由边界条件式（C-38a）和式（C-38b）知，用半逆解法时，假设σ_r为r的某一函数乘以cosθ，而τ_rθ为r的另一函数乘以sin2θ。又根据式（C-26）和式（C-27）中σ_r、τ_rθ应力表达式可知，如设ϕ=f（r）cos2θ，则满足边界条件式（C-38a）和式（C-38b）。因此，设

ϕ=f（r）cos2θ （C-38c）将式（C-38c）代入方程式（C-28），得

求解这个常微分方程，得

其中A、B、C、D为任意常数。代入式（C-38c）得应力函数

从而，由式（C-26）和式（C-27）得应力分量

将边界条件式（C-38a）、式（C-38b）代入式（C-38d），得方程组

由于孔很小，令，得A=0，，C=qa²，，再代回式（C-38d），得应力分量表达式

3）矩形薄板横向受均布拉力q₁，纵向受均布拉力q₂，如图C-9a所示。

图C-9 矩形薄板受力示意图

在这种情况下，可将载荷看成两部分的叠加，第一部分为作用在矩形板四边的均布拉力，如图C-9b所示；第二部分为作用在矩形板的横向均布拉力和纵向均布压力，如图C-9c所示。对于第一部分载荷作用，令代入应力式（C-37）；对第二部分载荷，令代入应力式（C-38e）。将两部分应力分别相加，可计算出周边载荷分布如图C-9a所示的矩形板中应力分布情况。

例如，有一矩形薄板，已知在横向受均布拉力q作用。由上述叠加法，得到

矩形薄板开圆孔应力分布结论也可应用到薄壁容器开小圆孔的应力分析中。此时，容器的周向和轴向薄膜应力、

相当于图C-9中的q₁、q₂。令σ_Z=q、σ_θ=2q，应用叠加法得

由式（C-40）可看出：r=a时（即开孔边缘），σ_r=τ_rθ=0，σ_θ=q（3-2cos2θ），当θ=90°时，σ_θ=5q。r>a时，总有σ_θ>σ_r，所以σ_θ是要重点考虑的。σ_θ随r的增加衰减很快。当r≥4a时，基本上可以不考虑开孔的影响了，应力分布衰减情况如图C-10所示。

工程上常利用上述结论解决孔边应力集中问题。先求出无孔时的应力解答，然后可以计算出孔边应力。这样求出的孔边应力会有一定误差，但在工程上很有参考价值。关于孔边应力的较精确解答，可采用有限元法。

2.沿径向承受均布压力的环板

如图C-11所示的环板，内半径R_i，外半径R_o，环板内缘承受均布压力p_i，外缘承受均布压力p_o。

图C-10 应力分布衰减示意图

图C-11 环板示意图

显然这是一个轴对称平面应力问题，环板内外边缘所对应的边界条件可写成

将边界条件代入式（C-35c），解得

将A、C回代到式（C-35c）及式（C-36），得到环板的应力、应变分量：

四、塑性力学简介

塑性力学的主要任务是研究固体发生塑性变形时的应力和应变分布规律。

在压力容器设计过程中，由于各种原因，使得应力分布不均匀、局部区域的应力超出材料的弹性范围，产生塑性变形。如果在设计中考虑塑性变形引起的应力重新分布，一方面可以更准确地估计结构的承载能力；另一方面，我们可以利用材料的局部塑性变形来改善应力分布。例如厚壁筒体中的自增强处理，就是利用材料的局部塑变达到提高筒体弹性承载能力的目的。

塑性力学主要采用宏观的方法，从材料的宏观塑性行为中抽象出力学模型，并建立相应的数学方程来予以描述。应力平衡方程和应变位移间的几何关系是同材料性质无关的，这点对弹性力学和塑性力学都是一样的。弹塑性的差别主要表现在应力与应变间的物理关系（即所谓本构关系）上，所以塑性力学首先是在实验资料的基础上确定塑性本构关系，加上平衡关系和几何关系，进而建立弹塑性边值问题，然后根据具体情况寻求数学计算的方法来求解弹塑性边值问题。

1.金属材料的应力-应变曲线

从简单拉伸（压缩）实验所得到的应力-应变曲线是塑性理论最基本的实验资料。

图C-12所示是在常温准静态加载实验条件下，采用等截面柱体低碳钢试件，在材料试验机上进行拉伸试验，得到的材料应力-应变关系。

在拉伸试验初始阶段，应力σ与应变ε成正比，服从胡克（Hooke）定律

σ=Eε

式中的比例常数E为弹性模量，其值为tanα。

超过A点后，曲线开始弯曲，上述比例关系不再保持。A点应力就是比例极限。在达到B点之前，如果卸去全部载荷，变形可以完全恢复。B点应力称为弹性极限。

图C-12 应力-应变关系示意图

在弹性极限之后，低碳钢材料试验中，将出现应力保持不变，而应变显著增加的阶段，即屈服阶段，对应应力为屈服应力。对很多材料，比例极限、弹性极限和初始屈服极限应力区别不大，工程中常不加区别，用R_eL表示。铜、铝和某些高强度合金钢没有明显的屈服阶段，这时在工程上通常取与产生0.2%的塑性应变相对应的应力作为条件屈服应力，以R_p0.2表示。

经过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，必须增加载荷才能继续产生变形，这称为材料的强化，该阶段称为材料的强化阶段。在材料的强化阶段，随着应变的增加而应力相应增加，直至达到材料的强度极限R_m，试件断裂。

在产生了一定的塑性变形以后，如果减小载荷，应力、应变关系将不按已有曲线退回原点，而是沿着一条与初始弹性阶段相平行的斜率为E的直线变化。当载荷完全卸掉之后，应变的弹性部分

ε_e=σ/E就会恢复，而塑性应变ε_p残存下来。从图C-12可以看出，应变可分解成弹性应变和塑性应变两部分，即

ε=ε_e+ε_p

在加载和卸载过程中，应力、应变服从不同的规律，是材料在塑性阶段的一个重要特点。

如果试件完全卸载后，再反向加载（即施加压缩应力），如图C-13所示。应力、应变关系沿卸载线的延长线下降，并且反向屈服极限的绝对值比正向初始屈服极限R_eL要小，既σ∗<R_eL，这种现象称为包辛格（Bauschinger）效应。

在上述试验过程中，我们看到，材料的塑性变形有以下几个特点：

1）应力-应变关系非线性。

2）由于加载和卸载过程服从不同的规律，应力应变间不存在单值对应关系，即同一应力可对应不同的应变，反之亦然。应力的大小不仅与当时的应变大小有关，还与应变的历史有关。

3）由于塑性应变不可恢复，所以外力所作的塑性功具有不可逆性（耗散性）。这部分能量被材料的塑性变形所耗散。

图C-13 反向加载示意图

2.应力-应变曲线的简化模型

与弹性情形不同，金属材料的塑性行为多样且复杂。为处理方便，需对材料的应力-应变曲线进行简化，以建立力学模型。

常用的简化模型有以下几种：

（1）理想弹塑性材料模型

该简化模型忽略材料的强化性质，如图C-14a所示。其应力和应变关系为

（2）理想刚塑性体材料模型

该简化模型假定，应力达到屈服极限R_eL前变形为零，当应力等于屈服极限时，塑性变形可无限延长。应力、应变关系如图C-14b所示。

（3）线性强化弹塑性材料模型

该简化模型假定应力、应变关系如图C-14c所示。其应力和应变关系为

（4）线性强化刚塑性材料模型

该简化模型假定在材料屈服前弹性变形为零，其应力、应变关系如图C-14d所示。

（5）幂次强化材料模型

该简化模型假定应力、应变关系为

σ=A|εⁿ|

其中A和n均为材料常数，A＞0，0≤n≤1，如图C-14e所示。当n=0时相当于理想刚塑性材料，n=1时为线性弹性材料。ε为总应变值，即ε=ε_e+ε_p。

五、屈服条件

1.初始屈服条件

简单拉伸（压缩）时，初始弹性状态的界限就是拉、压屈服极限R_eL。在复杂应力状态下，材料初始弹性状态的界限称为初始屈服条件，简称屈服条件，换言之，即在外载作用下，物体内某一点开始产生塑性变形时，该点处应力所满足的条件。

由于在复杂应力状态下，一点的应力状态是由6个应力分量所确定的，不能以某一应力分量的数值来判断材料是否进入塑性状态，而应以应力的组合作为判断材料是否进入塑性状态的准则。

2.两种常见的屈服条件

1864年，法国工程师Tresca根据金属挤压试验中得到的结果，提出屈服条件：材料处于复杂应力状态时，当六面体的最大剪应力达到一定数值时，材料开始进入塑性状态。

1913年，Mises提出另一屈服条件：材料处于复杂应力状态时，当八面体剪应力达到一定数值，材料开始进入塑性状态。

（1）Tresca屈服条件

设已知物体内某点的主应力及主方向。取一微元六面体，以微元体各个面的应力代表一点处的应力，如图C-15所示。微元体上作用有主应力σ₁、σ₂、σ₃，且σ₁>σ₂>σ₃。微元体的3个最大剪应力τ₁、τ₂、τ₃分别作用在过σ₁、σ₂和σ₃的主方向，而且与另外两个主方向成45°夹角的斜面上，且τ₁、τ₂、τ₃的方向分别垂直于σ₁、σ₂和σ₃主方向。

图C-14 应力-应变曲线的简化模型

图C-15 微元六面体

可知3个剪应力τ₁、τ₂、τ₃中，为该六面体中最大剪应力，即

根据六面体最大剪应力τ₁可得Tresca屈服条件表达式为

即

σ₁-σ₃=R_eL（C-43）

简单拉伸时，σ₁≠0，σ₂=σ₃=0，所以Tresca屈服条件可表达为

σ₁=R_eL（C-44）

在纯剪切试验时，可表示为

式中 τ_s——材料剪切屈服极限。

图C-16 等斜面示意图

（2）Mises屈服条件

设物体内任一点的六个主应力分量及主平面已知。过该点做一平面，使该平面的法线与3个主方向夹角的方向余弦分别为l、m、n。当时，该斜面即为等斜面，如图C-16中abc面。在空间坐标系中可做出八个同样的等斜面而组成一个八面体，如图C-17所示，八面体各个面上的剪应力称为八面体剪应力。

设abc面上总应力为S_N，S_N可分解成沿abc面法线方向正应力σ_N和平行abc面方向的剪应力τ_N。τ_N即为八面体剪应力。也可分解为沿3个主方向的3个主应力分量S₁、S₂、S₃，这些应力间有以下关系

S²_N=σ²_N+τ²_N （C-46a）

S²_N=S²₁+S²₂+S²₃ （C-46b）

另有

设三角形abc面积为F，由力平衡关系，有

S₁F=σ₁Fl，S₂F=σ₂Fm，S₃F=σ₃Fn

推导得

将S₁、S₂、S₃关系代入式（C-46c）和式（C-46b），有

由式（C-46a）得八面体剪应力

图C-17 八面体示意图

根据八面体剪应力的计算，当材料处于简单拉伸状态，即σ₁≠0，σ₂=σ₃=0时，八面体剪应力由式（C-46d）得

即简单拉伸时

在复杂应力状态下，把各个应力分量的综合，即当量应力σ_eq看成和在简单拉伸时的拉应力σ₁相当。在简单拉伸时，用试件的应力σ₁是否达到材料的屈服极限R_eL来判断材料是否进入塑性状态，即；在复杂应力状态，则以当量应力σ_eq是否达到R_eL来判断材料是否进入塑性状态，即Mises屈服条件可表达为

或写为

式（C-46e）是各坐标面与主微元体面相重合、各坐标轴与相应的主应力方向相重合时的当量应力表达式。但当取任意直角坐标系时，一点的应力状态由6个应力分量σ_x、σ_y、σ_z和τ_xy、τ_yx、τ_zx决定。此时物体内某定的当量应力为

在纯剪切状态下，只有τ_xy存在，其余应力为0，。当τ_xy达到材料剪切屈服极限τs时，材料进入塑性状态，屈服条件为

即

由此，Mises屈服条件认为，材料承载时的最大剪应力等于时，材料进入塑性状态，即

与式（C-45）相比较，两个屈服条件差别不大。在主应力已知时，按Tresca屈服条件求解塑性问题是方便的。一般认为Mises屈服条件更接近试验结果。

六、加载、卸载定理

当某点的当量应力σ_eq不断地增加，该点处于加载状态，它的变形称为主动变形；反之，当量应力σ_eq不断减小，该点处于卸载状态，此时的变形称为被动变形。

在卸载过程中，只有弹性变形可以恢复，而塑性变形保持不变。在此，以弹塑性材料的简单拉伸应力-应变曲线为例，说明卸载过程的应力计算。

图C-18 加载、卸载示意图

如图C-18所示，如果从加载开始，在P载荷作用下，进入塑性状态的E点，其应力为σ（>R_eL），在卸载中，由于只有弹性变形可以恢复，塑性变形保持不变，故沿EF直线下降。EF平行于初始加载线OA。可见，当E点载卸至F点时应力与应变的改变量分别为

Δσ=σ-σ′，Δε=ε-ε′

且Δσ=EΔε

于是σ′=σ-Δσ=σ-EΔε

从上述关系可以看出，卸载后的应力与应变，也就是残余应力和残余应变，它们分别等于卸载前的应力和应变减去卸载过程中按弹性规律计算的应力和应变的改变量。这就是卸载定理。

在复杂应力状态下，若加载中，某点的各个应力分量是按比例增加的，该加载称为简单加载；若卸载中，各应力分量的改变量是按比例下降的，则称为简单卸载。对于简单卸载，应力分量的改变量与应变分量的改变量之间为弹性关系。若初次加载时，产生的应力分量为σ_ij，由于卸载时结构处于弹性状态，且卸载的应力为Δσ_ij，则残余应力为

显然，如果在卸载时或载荷反向时，某些点的当量应力与卸载前相比改变了符号且超过了新的屈服极限（由于包辛格效应，这个新的屈服极限小于原有的卸载前的屈服极限），上述卸载定理将不再适用。

七、有限元的基本概念

弹性力学分析问题，无论是采用位移法还是应力法，都需要求相应的微分方程的解。在边界条件下精确的求出他们的解析解，在数学上是比较困难的。只有一些特殊问题，我们可以得到解析解答。工程中大量的实际问题大多比较复杂，往往采用弹性力学的数值解或近似解。有限元法是随着计算机的广泛应用而发展起来的一种数值解法。它具有极大的通用性和灵活性，可以用来求解固体力学中大量的复杂问题，有效处理材料的各种失效问题，并可模仿材料或结构的线性和非线性性能，解决依赖于时间的有关问题和各种场问题，分析结构的动态特性等。

以下内容就有限元的理论和方法作基本介绍，并简单介绍目前流行的有限元软件ANSYS。

有限元法是将所探讨的工程系统转化为一个有限元系统。进行有限元分析，首先是对连续体进行离散化。所谓离散化，就是把连续体转化成为一个离散的结构，它由有限多个有限大小的单元块在有限多个节点上相互连接而成。这些有限大小的单元块就称为有限单元或有限元素。这样，连续体就转化成为由节点和单元组合而成的有限元系统。

举例来讲，如图C-19所示薄板，在上下顶点分别作用有压力，且沿板厚均布，要求对该薄板进行离散化。

图C-19 上下顶点受力的薄板

由于该板两条对角线对称，故取其1/4进行研究。将这1/4板按三角形单元划分，单元与单元间只在节点处由铰链连接。由于在对称轴上的节点不存在垂直于对称轴的位移，所以在对称轴上的节点上设置支座连杆，同时将外力转化为等效节点载荷。这样就形成了一个有限元系统。

有限元系统可以转化为一个数学模式，进而得到该系统的解答，并通过节点和单元表现出来。完整的有限元模型除了节点、单元，还包含工程本身所具有的边界条件、约束条件、外力等。用有限元法进行工程分析的步骤是：结构受力分析→单元分析→整体分析→引入边界条件。

应用有限元分析问题有3种方法：位移法、力法和混合法。

位移法是常用的方法，易于实现计算机自动化。取节点位移为基本未知量，利用位移表示的平衡方程及边界条件求出位移未知量，然后根据几何、物理方程求解应力和应变。力法是取节点力作为基本未知量求解。而混合法以一部分节点位移、一部分节点力作为基本未知量来求解。

平面问题中，最简单也最常用的单元是三角形单元，也有用矩形单元的。在进行连续体的有限单元离散化过程中，单元的形状、大小、数目、排列及约束形式的选择，与单元体的几何形状、独立空间坐标数目、计算精度、载荷、约束情况等有关，应尽可能精确地模拟原来连续体的实际情况。

八、有限元法的解题步骤

应用有限元求解问题时，计算工作量很大，一般利用专用程序在计算机上进行计算。针对弹性平面问题有限元法中位移法的计算步骤简述如下。

（1）进行离散化

对连续体进行网格划分，并按一定规律将所有节点和单元等对象分别编号。网格所需参数的设定，将决定网格的大小、形状，以及分析的准确性和经济性。网格太细，可能结果较精确，但计算工作量过大，会占用大量的分析时间；网格太粗，又会达不到计算精度要求。一般在应力梯度变化较大和重要的部位，或者壁厚、材料、载荷突变处，单元应取的小一点，网格划分密一点，并将突变处作为单元边界。

（2）进行单元分析

单元分析的目的是建立单元刚度矩阵。先假定单元位移函数，建立单元节点力与节点位移关系式，进而建立单元刚度矩阵，计算节点位移。

单元分析中，以节点的位移分量为基本未知量。由有限节点位移为参数，引入适当的插值函数（最简单的插值函数为多项式）来构造任意点的位移函数，即

{f}=[N]{δ}^e （C-48a）

式中 {f}——位移列阵；

[N]——插值函数矩阵；

{δ}^e——节点位移分量列阵。

为了在求得节点位移以后可以求得应力，必须通过几何方程和物理方程建立单元体应力与节点位移的关系，即

{σ}=[S]{δ}^e （C-48b）

式中 {σ}——应力分量矩阵；

[S]——应力转换矩阵。

根据实际情况，将实际载荷转化到相应的节点上，成为节点集中载荷。同时考虑周围单元施加在节点上的作用力，成为节点载荷。对该节点建立力的平衡方程，即

式中 {R_i}——某节点的集中载荷；

∑_e{F_i}——该节点周围的节点力。

基本未知量是节点位移，所以最后要求解节点位移。从力学概念出发，求节点位移的方程实际上是平衡方程。通过虚功原理建立单元节点力与节点位移的关系——单元刚度方程：

{F}^e=[k]{δ}^e （C-48d）

式中 {F}^e——单元受到的节点力；

[k]——该单元的刚度矩阵。

（3）等效节点载荷

单元节点力依赖于单元节点位移，式（C-48c）表示的某一节点的平衡方程是以节点位移为未知量的方程，对每一节点列出平衡方程，集合后就得到一组求解整体节点位移的代数方程，即

{R}=[K]{δ}

式中 {R}——整体等效节点载荷列阵；

[K]——总刚度矩阵，由单元刚度矩阵集合得到；

{δ}——整体节点位移列阵。

（4）计算应力

从求出的整体节点位移列阵逐个单元取出该单元的节点位移列阵，代入式（C-48b）求出单元任意点的应力。

上述过程就是用位移法进行有限元分析的简单过程。

九、有限元软件介绍

有限元软件是力学计算、数学计算、相关工程学科与现代计算机技术相结合而形成的一种综合性、知识密集型信息产品。20世纪80年代中期以后，通用有限元软件已逐渐商品化，在工程领域得到广泛应用。

目前，国际上已有大量有限元软件面市，其中有代表性的商用通用软件有ANSYS、ABAQUS、ADINA、DYNA3D、NASTRAN、ASKA、ALGOR、BEASY、AFEMS等。国内自行研制的有限元软件有FEPG、JIGFFX、HAJIF等。

应用这些有限元软件对工程问题进行分析时，一般要经历前处理、有限元分析和后处理等过程。前处理过程是应用图形软件进行实体建模，进而建立有限元分析模型。有限元分析过程是对有限元模型进行单元分析、有限元系统组装、有限元系统求解以及有限元结果生成。后处理指根据工程或产品模型与设计要求，对有限元分析结果进行用户所要求的加工、检查，并以图形方式提供给用户，辅助用户判断计算结果与设计方案的合理性。

国际上先进的有限元软件已经可以对工程和产品进行以下性能分析、预测和运行行为模拟：

1）静力和拟静力的线性与非线性分析。包括对各种单一和符合组合结构的弹性、弹塑性、塑性、蠕变、膨胀、几何大变形、大应变、疲劳、断裂、损伤及多体弹塑性接触在内的变形与应力应变分析。

2）线性与非线性动力分析。包括交变载荷、爆炸冲击载荷、随机地震载荷以及各种运动载荷作用下的动力时程分析、振动模态分析、谐波响应分析、随机振动分析、屈曲定性分析等。

3）稳态与瞬态热分析。包括传导、对流和辐射状态下的热分析，相变分析及热—结构耦合分析。

4）流体计算。包括常规的管内和外场的层流、湍流、热/流耦合以及流/固耦合分析。

5）静态和交变的电磁场和电流分析。

6）声场与波的传播计算。

前后处理是近年来发展最快的有限元模块，是满足用户需要，使通用软件专业化、本地化，并实现与CAD、CAM、PDM等软件无缝集成的关键性模块。它们通过增设与CAD软件，如Pro/Engineer、Unigraphic、CATIA、SolidW orks、SlidEdge等软件的接口模块，实现了CAD、CAE的有效集成。

目前，有限元软件已较成熟，在实现设计创新，提高设计质量，降低研发成本和周期等方面起着重要作用，正在成为工程技术人员的得力助手。

十、ANSYS入门简介

ANSYS是现阶段广泛使用的商业套装工程分析软件，在机械、电机、土木、电子、航空等领域大量使用，都能达到某种程度的可信度。

ANSYS软件从1971年的2.0版，到今天的14.0版，已有40多年的历史。ANSYS有限元软件分析过程主要包括3个步骤：

1）前处理：创建有限元模型。包括创建或输入几何模型，定义材料属性，定义实常数，定义单元类型，划分单元。

2）求解：施加载荷并求解。包括施加约束条件，施加载荷，求解。

3）后处理：查看分析结果。包括查看分析结果和检查结果的正确性。

ANSYS软件有限元分析流程图如图C-20所示。

图C-20 ANSYS软件有限元分析流程图

整个ANSYS的架构分为两层（Level）：一为起始层（Begin Level），二为处理层（Processor Level）。进入ANSYS所在位置是起始层，使用者可以在输入窗口看到所在位置。起始层的功能有：完全退出ANSYS；进入不同处理层；清除目前工作的所有资料，重新开始另一工作；改变工作文件名称。

处理层主要为处理器。处理器功能在于接受相关类型的工作命令，ANSYS处理器有以下几种：

1）一般前处理器（General Preprocessor，PREP7）：建立有限元模块。

2）求解处理器（Solution Processor，SOLU）：定义外力、边界约束条件及求解。

3）一般后处理器（General Postprocessor，POST1）：用于静态结构分析、模态分析、曲屈分析后检查分析结果。

4）最佳化处理器（Optimization Postprocessor，OPT）：处理最佳化问题，定义目标函数、限制函数。

5）时域后处理器（TimeDomain Postprocessor，POST26）：仅用于动态结构分析后查看动态分析与时间有关的时域结果。

其中，PREP7、SOLU是任何分析都需要使用的。

ANSYS有两种使用模式：一种为交互模式（Interactive Mode），另一为非交互式模式（Batch Mode）。交互模式为初学者及大多数使用者所使用，而非交互式模式分析问题所需时间比交互式模式少，但必须对ANSYS命令非常熟悉。