常用方法：应力分析优化技巧

在应力分析设计中，应力的求解计算是基础，也是关键性的环节。在本书前面的章节里，我们从材料力学、板壳理论以解析法的角度分析了某些构件的应力，得到了一些特殊构件的解析解。在实际问题中，能够得到解析解的多限于一些特殊结构。工程实际遇到的结构大多没有解析解。因此，理论分析常用的数值法和试验分析的实测法也是应力分析中的常见方法。

1.解析法

解析法从力平衡关系、几何关系以及物理关系出发，推导出一个或一组关于应力或者关于应变，有时是同时含有应力、应变的微分方程或偏微分方程（如弹性力学中的混合法），通过求解微分方程，解出应力、应变和变形量。工程中，常采用的解析方法有材料力学中对杆件的分析，弹性力学中平面问题的求解，板壳理论等（见附录C）。

解析法的很多基本理论是建立在一些简化了的假设基础之上的，经过大量的工程实践，被证明能很好地符合构件实际工作情况，已成为成熟的理论。解析法得到的结果是未知量（应力、应变等）的函数解，可直接得到结构中任意点的精确解。解析法在分析理论问题以及一些工程问题时起着重要作用。但是解析法在应用到一些形状复杂或应力分布复杂的结构时，往往由于数学上的问题而显得无能为力，使得解析法在应力分析中的应用受到限制。

2.数值法

数值法在弹性力学中占有重要的地位。弹性力学中的数值法主要有差分法、变分法和有限元法。

数值法求解弹性力学问题得到的是近似解。它的基本未知量是结构中有限个节点上的待求未知函数或者是人为构造的某一逼近函数的有限个待定系数。数值法的基本方程是代数方程组，这比求解偏微分方程要容易得多，所以数值法应用范围更广。但数值法往往计算工作量大，难以用手工完成，需要采用计算机来进行计算。

差分法是数值法中最古老的方法。它是将解析法列出的基本微分方程改造成有限差分方程后，再进行数值运算。差分法对于几何形状规则、材料均匀的结构应力分析有效，而对不规则形状或不均匀材料的结构，则难以达到满意效果。

变分法是将等价于基本微分方程的变分方程改造成求解人为构造的逼近函数中有限个待定系数的代数方程后，再进行数值运算。由于整体构造逼近函数难以满足复杂的边界条件，因此使变分法的应用受到限制。

有限元法是近年出现并迅速发展的现代数值法，具有很大的灵活性和通用性，已得到广泛应用。有关有限元的介绍见附录C。

3.实测法

实验应力分析是利用试验的手段对构件进行应力、应变分析，是基础理论和工程技术相结合的一门科学。实验应力分析的手段很多，有电测法、光测法、脆漆法、莫尔法、声发射法等。目前使用较多的有电测法和光测法两大类。

（1）电测法

电测法是借助电子仪器，将应变这一非电量转为电量的一种测试方法。它可以用于现场测定和模拟测定。现场测定是完全在实际生产情况下测量，数据完全反映了构件内应力分布的实际情况和规律，非常直接。电测法还可用于各种复杂环境的测量，如高温、高压情况下的动、静态应变测量及远距离遥测等。但电测法只能测得应变片处的应变平均值，无法了解应力全貌。

电测法中主要使用的元件有电阻应变片、应变片测量电路、电阻应变仪和记录器等。它的基本原理是将粘贴或安装在压力容器表面的电阻应变片接入测量电路，当容器受载变形时，应变片的敏感栅相应变形并发生电阻变化，此电阻变化与压力容器表面的应变成比例，测量电路将电阻变化转换成电压（或电流）信号，经放大器放大后由指示仪表或记录仪器指示或记录，亦可用计算机按预定的要求进行数据处理，得到所需的应力或应变值。(www.xing528.com)

电阻应变片（简称应变片或电阻片）是一种电阻式传感器，是应变电测法中的关键元件。它将被测容器表面的应变按一定的数值关系转换成电阻的变化，然后通过电子仪器进行相应的电学量测量。应变片中电阻丝的电阻会随电阻丝的变形而产生相应变化。试验还表明，电阻丝的电阻同时随应变而变化。

（2）光测法

光测法实质是应用光学的基本原理及试验方法研究应力、应变和位移等力学问题，又称光弹性法。这种方法的最大优点是能了解构件内应力分布的全貌，特别是能方便地获得边界上的应力，并能清晰反映出应力集中的情况。目前，该方法的应用和研究的范围迅速扩大，除了在弹性体的应用外，也已应用到非弹性体，并且出现了以测位移为主的全息干涉法、散斑法、云纹法和焦散线法等，在断裂力学、生物固体力学中获得了广泛应用。

光学研究中，人们发现当光入射方解石或云母板等晶体时，通过的光被分解为具有相互正交偏振面且速度不同的两个平面偏振光，该现象称为双折射。其中一支偏振光服从各向同性物质的折射法则，另一支不服从。对于玻璃、赛璐珞等各向同性透明物体，在无应力条件下虽不具有双折射性，但在产生了应力的状态下，暂时的出现了在晶体中所看见的双折射现象，而且强度与所产生的应力存在比例关系，该现象称为暂时双折射现象。应力给予该种物质的光学性质的影响称为光弹性效应。将该原理应用到应力分析，就是光弹性试验法。

测量二维应力时，设试件产生的主应力为σ₁、σ₂，则光通过试件时，被分解为沿σ₁方向振动的偏振光和沿σ₂方向振动的偏振光。又因为通过试件的两个偏振光的速度不同，故通过试件后两个偏振光产生相位差δ，相位差δ与主应力差σ₁-σ₂成比例。而试件内各点处主应力不相同，所以在投射屏幕上产生明暗条纹，称为等色线。凡是满足相位差等于同一整数倍波长的各点均可联成一条黑色干涉条纹，即相位差相同点的轨迹。位于同一条干涉条纹上的点都有相同的主应力差值，因此，又称此条纹为等差线。利用等差线可测得各点主应力的差。

另一方面，主应力σ₁方向与起偏镜偏振轴方向重合时，也会形成黑点。由此一系列黑点可构成一条黑线，在这条黑线上各点都表示其主应力的倾角相同，是主应力方向相同的点的轨迹线，称为等倾线。由它可以确定主应力方向。

光测法也可应用于三维应力测定。常用到的三维应力分析法是应力冻结法。它利用聚合物的性质将环氧树脂加热到100～120℃，则材料的纵弹性模量E显著减小，光弹性灵敏度α显著增大。该范围称为聚合物的玻璃过渡区。加热至玻璃过渡区以上再加载，若在负载状态下冷却至室温，则应变原封不动的保留下来，成为应力冻结状态，即使除掉载荷，应变也照样保留。因此，用这种聚合物作三维模型，应变被冻结在模型中。将模型切成薄片，即可测定各个薄片内分布的二维应力。

光测法是利用模型（贴片法除外）进行应力分析的，所得到的结果均为模型中的值。因而，必须采用相似理论将模型中的应力转换成实物中的应力，然后再进行应力评定。

（3）脆漆法

在产生应变的面上若预先粘着一层脆性薄膜，则薄膜由于应变而产生裂纹，所以根据该裂纹可知表面的应力状态。在测定面上用喷枪喷涂厚度为0.05～0.1mm的所谓脆性涂料或应力漆，以制作这种薄膜。涂料应迅速干燥，而且必须具有规定的脆性性质。

在喷涂了涂料的试件上施加载荷时，脆性涂料开始产生裂纹。裂纹密度随应变增加而增大，并最终达到饱和状态。在应变的增加和裂纹密度成比例的范围内，可进行应变的定性测定，并可根据裂纹确定主应力方向。

（4）莫尔法

莫尔法又称密栅云法，其基本测量元件为密栅板。密栅板是由透明和不透明相同等距平行线条所组成。若将两个密栅板重叠在一起，则产生波纹状的干涉条纹，莫尔法的原理即基于这种现象，常被用于二维问题的应变测定，并且也适用于分析三维问题。莫尔法是采用比较变形前、后的长度求应变的方法。二维应力分析的原理是：在二维试件表面装置格栅，根据该格栅与主格栅相对位置关系所产生的莫尔干涉条纹而测定应变。透明试件格栅和主格栅在试件变形前两者的线密度完全相同。试件若变形则试件格栅的线密度发生变化。即设试件变形前试件格栅的间距为p，则变形后试件格栅的间距变为p（1+ε_x），ε_x为拉伸应变。试件格栅和主格栅一致的部分，光容易通过，主格栅的光线进入试件格栅线之间的地方，产生暗条纹。两个条纹（间距为δ）之间试件格栅的数目比主格栅的数目少（或多）1条，试件的长度增加（或减少）等于间距p。因而小位移时的应变为。