圆板轴对称弯曲内力分析

半径为R，厚度为t，承受轴对称横向外载荷p_z的圆平板，内力和变形也具有轴对称性。建立r、θ、z圆柱坐标系，如图3-18所示。

用半径为r和r+dr的圆柱面和夹角为dθ的两个半径方向截面截取板上一微元体abcd，如图3-18b所示。

在轴对称横向载荷作用下，圆平板发生变形，所有沿半径方向的“纤维”弯曲，中面以上的“纤维”伸长，中面以下的“纤维”缩短，且“纤维”的伸缩量与它到中面的距离成正比，即平板在半径方向产生沿板厚线性分布的径向弯曲应力。在截取的微元体abcd中，ab和cd所在的弧面上作用有径向弯曲应力构成的弯矩M_r、M_r+（dM_r/dr）dr。这两个弧面上还产生相对错动，即有剪力Q_r、Q_r+（dQ_r/dr）dr存在，如图3-18c所示。

同样，平板在环向产生沿板厚线性分布的环向弯曲应力，在截取的微元体abcd中，bc和ad所在的平面上均作用有环向弯曲应力构成的环向弯矩M_θ。由于对称，这两个面上无剪力。

由于圆平板具有几何对称，且承受轴对称横向载荷，周边约束对称，所以弯矩、剪力和挠度w只是r的函数，而与θ无关。

图3-18 圆平板单元体的截取和受力分析(www.xing528.com)

如图3-18d所示，微体内力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零，即

忽略高阶微量，且sindθ/2=dθ/2，化简后得

这就是圆平板在轴对称横向载荷作用下的平衡方程，它包括M_r、M_θ和Q_r三个未知量。必须利用变形分析和物理方程将两向弯矩用w来表达，进而得到只含一个未知量w的微分方程。