两平行板流道流体的非定常流动分析与优化

在工程的有些问题中，不能简化成稳态定常问题。如无界平板在黏性流体中的突然运动。由于黏性的作用，平板周围的流体将随之运动产生运动流场，此流动为非定常的单向流动(Transient Unidirectional Flows) ^{[1,2，5，7]}。

两个无限长L、宽b、两板之间距离H的平行平板空间充满了不可压缩黏性流体，L≫H和b≫H，如图6.3.1所示。在某一时刻U₀，上平板突然以速度U₀沿x方向运动，下板静止，在二维平面层流的等温流动中，确定该流场的速度分布。根据该流体流动的特点，有u·Δu＝0，u≠u(T)，忽略质量力，简化直角坐标系非稳态运动方程式(3.2.19b）或式(6.1.1)，得到运动方程

式中，ν为运动黏度。

边界条件： ①u_x(t，0)＝0，②u_x(t，H)＝U₀；

初始条件：u_x(0，y)＝0，0≤t≤∞。

该问题的控制方程的边界条件是非齐次的，不能直接分离变量。为求解该问题，将该问题看作库特流动和两平行板流道流体的流动两个运动的叠加，令速度为两个运动速度的叠加

将式(2)分别代入式(1)、初始条件和边界条件中，将式(1)分解成下面两个问题：

① 库特流动

边界条件： ①u_z(0)＝0，②u_z(H)＝U₀

② 无滑移边界条件和仅有初始条件，下板以速度－u_s(y)沿着x相反方向移动

边界条件： ①u₁(t，0)＝0，②u₁(t，H)＝0。

初始条件：u₁(t，0)＝－u_s(y)，0≤t≤∞。

积分方程式(3)，运用边界条件确定积分常数，得到(www.xing528.com)

化简为

用分离变量法求解方程式(4)，令u₁(t，y)＝T(t)Y(y)，代入式(4)，有

T′Y＝νTY″

整理上式，将自变量y和时间变量t分离，分离变量的两个方程只能等于常数(－λ²)，即

得到两个常微分方程

分别求解式(8)中的两个方程，得

将式(9)代入u₁(t，y)＝T(t)Y(y)，有

运用边界条件u₁(t，0)＝0，得B＝0；当u₁(t，H)＝0，sinλy＝0，得特征值为

将式(11)代入式(10)，得

由初始条件确定式(12)中的常数，有

由级数展开，确定式(13)中的傅里叶常数，有

将式(6)和式(12)代入式(2)，得流场的速度分布